(ITA/04) Sendo z = 1+ i√(p/2), calcule |∑(n=1 to 60) z^n| = |z + z^2+ . . .+ z^60|.

Podemos resolver essa questão utilizando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Primeiro, precisamos encontrar a razão da progressão. Podemos fazer isso dividindo o segundo termo pelo primeiro termo: z²/z = z Portanto, a razão é z. Agora, podemos aplicar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita: S = (z^(n+1) - 1)/(z - 1) Substituindo os valores, temos: S = (z^(61) - 1)/(z - 1) Para calcular o módulo de S, podemos utilizar a propriedade do módulo de um produto: |z^n| = |z|^n Portanto, temos: |S| = |(z^(61) - 1)/(z - 1)| = |z^(61) - 1|/|z - 1| Agora, precisamos calcular o módulo de z^(61) - 1 e de z - 1. Podemos fazer isso utilizando a fórmula de Moivre: z^(61) = (cos(θ) + i sen(θ))^61 = cos(61θ) + i sen(61θ) z - 1 = (1 + i√(p/2)) - 1 = i√(p/2) Substituindo os valores, temos: |z^(61) - 1| = |cos(61θ) + i sen(61θ) - i√(p/2)| = √(cos(61θ) - √(p/2))^2 + (sen(61θ))^2) |z - 1| = |i√(p/2)| = √(p/2) Substituindo novamente na fórmula de |S|, temos: |S| = |z^(61) - 1|/|z - 1| = (√(cos(61θ) - √(p/2))^2 + (sen(61θ))^2))/√(p/2) Portanto, a resposta é: |∑(n=1 to 60) z^n| = |S| = (√(cos(61θ) - √(p/2))^2 + (sen(61θ))^2))/√(p/2)