Semana de Revisão 1 (Matemática)

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Semana de Revisão I
Prof. Cícero Thiago
1. (ITA/04) Seja o conjunto S = {r ∈Q : r ≥ 0 e r 2 ≤ 2} sobre o qual são feitas as seguintes
afirmações:
I.
5
4
∈ S e 7
5
∈ S .
II. {x ∈R : 0≤ x ≤
p
2}∩S =⊘.
III.
p
2 ∈ S .
Pode - se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas:
(a) I e II. (b) I e III. (c) II e III. (d) I. (e) II.
2. (ITA/04) Considere a função f : R → C, f (x ) = 2 cos x + 2i senx . Então, para todo
x , y ∈R, o valor do produto f (x )f (y ) é igual a
(a) f (x + y ). (b) 2 f (x + y ). (c) 4i f (x + y ). (d) f (x y ). (e) 2 f (x )+2i f (y ).
3. (ITA/04) Considere todos os números z = x+i y que têm módulo
p
7
2
e estão na elipse
x 2+4y 2 = 4. Então, o produto deles é igual a
(a)
25
9
. (b)
49
16
. (c)
81
25
. (d)
25
7
. (e) 4.
4. (ITA/04) Sendo z =
1+ ip
2
, calcule |
60
∑
n=1
z n |= |z + z 2+ . . .+ z 60|.
5. (ITA/04) Considere a equação x 3+ 3x 2− 2x +d = 0, em que d é uma constante real.
para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0, 1[?
6. (ITA/05) No desenvolvimento de (a x 2−2b x + c +1)5 obtém - se um polinômio p (x )
cujos coeficientes somam 32. Se 0 e −1 são raízes de p (x ), então a soma a + b + c é
igual a
(a) −1
2
. (b) −1
4
. (c)
1
2
. (d) 1. (e)
3
2
.
7. (ITA/05) O número complexo 2+ i é raiz do polinômio
f (x ) = x 4+ x 3+p x 2+ x +q ,
com p , q ∈ R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de
f é
(a) 4. (b) −4. (c) 6. (d) 5. (e) −5.
1
8. (ITA/06) Considere a equação
(a x −a−x )
(a x +a−x )
= m , na variável real x , com 0 < a 6= 1. O
conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é
(a) (−1, 0)∪ (0, 1). (b) (−∞,−1)∪ (1,+∞). (c) (−1, 1). (d) (0,∞). (e) (−∞,+∞).
9. (ITA/06) Sobre o polinômio p (x ) = x 5−5x 3+4x 2−3x −2 podemos afirmar que
(a) x = 2 não é raiz de p .
(b) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.
(c) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.
(d) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.
(e) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.
10. (ITA/06) Considere o polinômio p (x ) = x 3 + a x 2 + x + 1, com raízes reais. O coefi-
ciente a é racional e a diferença de duas de suas raízes também é racional. Nestas
condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira:
"Se uma das raízes de p (x ) é racional, então todas as suas raízes são racionais."
11. (ITA/07) SejaQ (z )um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números
complexos, cujo coeficiente de z 5 é igual a 1. Sendo z 3+ z 2+ z + 1 um fator de Q (z ),
Q (0) = 2 e Q (1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos
das raízes de Q (z ) é igual a:
(a) 9. (b) 7. (c) 5. (d) 3. (e) 1.
Extras
12. Determine todas as soluções reais da equação x 10− x 8+8x 6−24x 4+32x 2−48= 0.
13. Determine todos os valores de a para os quais os polinômio x 3 − x + a possui três
raízes inteiras.
Respostas
1. D 2. B 3. B 4.
p
4+2
p
2 5.
10
p
15−36
9
6. A 7. E 8. C 9. E 11. B 12.
p
2 e −
p
2 13. 0
2