6. (Fgv) A figura representa um trapézio isósceles ABCD, com AD BC 4cm.  M é o ponto médio de AD, e o ângulo ˆBMC é reto. O perímetro do tra...

Para encontrar o perímetro do trapézio ABCD, precisamos primeiro encontrar o comprimento dos lados AB e CD. Como o trapézio é isósceles, temos que AB = CD. Usando o teorema de Pitágoras no triângulo BMC, temos: BM² + MC² = BC² BM² + MC² = (AB + CD)² BM² + MC² = (2AB)² BM² + MC² = 4AB² BM² + MC² = 4(BC/2)² BM² + MC² = 8 Usando o fato de que M é o ponto médio de AD, temos que AM = MD = 2. Portanto, podemos escrever: AB² = AM² + BM² AB² = 2² + BM² AB² = 4 + BM² CD² = MC² + (MD + DC)² CD² = MC² + (2 + BC)² CD² = MC² + (2 + AB)² CD² = MC² + 4 + AB² + 4AB + 4 Como AB = CD, podemos escrever: AB² = CD² 4 + BM² = MC² + 4 + AB² + 4AB + 4 BM² = MC² + 4AB Substituindo BM² + MC² = 8, temos: 8 - 4AB = 4AB + MC² MC² = 8 - 8AB MC = 2√2 - 2AB O perímetro do trapézio ABCD é dado por: P = AB + BC + CD + AD P = 2AB + 2BC P = 2AB + 2(2MC) P = 2AB + 4(2√2 - 2AB) P = 8√2 - 2AB Substituindo AB = √(4 + BM²), temos: AB = √(4 + BM²) AB = √(4 + (8 - MC²)) AB = √(12 - MC²) AB = CD = √(12 - MC²) Substituindo AB = CD = √(12 - (8 - 8AB)²), temos: AB = CD = √(12 - 64AB + 64AB²) Substituindo AB = CD em P = 8√2 - 2AB, temos: P = 8√2 - 2√(12 - 64AB + 64AB²) Para encontrar o valor de P, podemos usar uma calculadora ou aproximar a resposta. A alternativa correta é a letra E) 15.