5. (Upf 2019) De uma progressão aritmética na de razão r, sabe-se que 8a 16 e 14a 4. Seja nS a soma dos n primeiros termos de na , o meno...

Para encontrar a solução, podemos utilizar as fórmulas da soma dos termos de uma progressão aritmética. Sabemos que: a16 = a1 + 15r a4 = a1 + 3r Podemos utilizar essas duas equações para encontrar o valor de a1: a16 - a4 = (a1 + 15r) - (a1 + 3r) 12r = 12r a1 = a4 - 3r a1 = a16 - 15r - 3r a1 = a16 - 18r Agora podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética: Sn = (a1 + an) * n / 2 Substituindo os valores conhecidos: 220 = (a1 + an) * n / 2 440 = (a1 + an) * n 440 = (a1 + a1 + (n - 1)r) * n 440 = (2a1 + n - 1)r * n 440 = (2(a16 - 18r) + n - 1)r * n 440 = (2a16 - 35r + n - 1)r * n 440 = (8a16 - 140r + 4n - 4)r 110 = 2a16 - 35r + n - 1 Substituindo os valores conhecidos: 110 = 2a16 - 35r + n - 1 110 = 2a1 + 15r - 35r + n - 1 110 = 2(a1 - 10r) + n - 1 111 = 2(a1 - 10r) + n Agora podemos testar os valores de n das alternativas até encontrar o valor correto: a) n = 12 111 = 2(a1 - 10r) + 12 111 = 2(a16 - 28r) + 12 111 = 2a16 - 56r + 12 99 = 2a16 - 56r a16 = (99 + 56r) / 2 a4 = a16 - 12r 14a4 = 14a16 - 168r 14a4 = 14(99 + 56r) / 2 - 168r 14a4 = 693 - 28r 8a16 = 8(99 + 56r) / 2 8a16 = 396 + 224r 693 - 28r = 396 + 224r r = 9/4 Mas r não é um número inteiro, então a alternativa a está incorreta. b) n = 11 111 = 2(a1 - 10r) + 11 111 = 2(a16 - 27r) + 11 111 = 2a16 - 54r + 11 100 = 2a16 - 54r a16 = (100 + 54r) / 2 a4 = a16 - 12r 14a4 = 14a16 - 168r 14a4 = 700 - 28r 8a16 = 8(100 + 54r) / 2 8a16 = 424 + 216r 700 - 28r = 424 + 216r r = 7/4 Mas r não é um número inteiro, então a alternativa b está incorreta. c) n = 14 111 = 2(a1 - 10r) + 14 111 = 2(a16 - 26r) + 14 111 = 2a16 - 52r + 14 97 = 2a16 - 52r a16 = (97 + 52r) / 2 a4 = a16 - 12r 14a4 = 14a16 - 168r 14a4 = 686 - 28r 8a16 = 8(97 + 52r) / 2 8a16 = 388 + 208r 686 - 28r = 388 + 208r r = 9/4 Mas r não é um número inteiro, então a alternativa c está incorreta. d) n = 16 111 = 2(a1 - 10r) + 16 111 = 2(a16 - 25r) + 16 111 = 2a16 - 50r + 16 95 = 2a16 - 50r a16 = (95 + 50r) / 2 a4 = a16 - 12r 14a4 = 14a16 - 168r 14a4 = 672 - 28r 8a16 = 8(95 + 50r) / 2 8a16 = 380 + 200r 672 - 28r = 380 + 200r r = 8/3 Mas r não é um número inteiro, então a alternativa d está incorreta. e) n = 18 111 = 2(a1 - 10r) + 18 111 = 2(a16 - 24r) + 18 111 = 2a16 - 48r + 18 93 = 2a16 - 48r a16 = (93 + 48r) / 2 a4 = a16 - 12r 14a4 = 14a16 - 168r 14a4 = 658 - 28r 8a16 = 8(93 + 48r) / 2 8a16 = 372 + 192r 658 - 28r = 372 + 192r r = 11/4 Agora podemos verificar se essa solução é válida: Sn = (a1 + an) * n / 2 Sn = (a1 + a1 + (n - 1)r) * n / 2 Sn = (2a1 + n - 1)r * n / 2 Sn = (2(a16 - 18r) + n - 1)r * n / 2 Sn = (2a16 - 35r + n - 1)r * n / 2 Sn = (8a16 - 140r + 4n - 4)r / 4 Sn = (744 + 836r) / 4 Sn = 186 + 209r Substituindo r = 11/4: Sn = 186 + 209(11/4) Sn = 186 + 576.75 Sn = 762.75 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 18.