Tarefa Complementar - Progressão Aritmética

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Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Extensivo Online – Progressão Aritmética 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
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1. (Unesp 2017) A figura indica o empilhamento de três cadeiras idênticas 
e perfeitamente encaixadas umas nas outras, sendo h a altura da pilha em 
relação ao chão. 
 
 
 
A altura, em relação ao chão, de uma pilha de n cadeiras perfeitamente 
encaixadas umas nas outras, será igual a 1,4 m se n for igual a: 
a) 14. 
b) 17. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
 
 
2. (Espm 2018) O vigésimo termo da PA (x, 3 x, 2x 1, )  é igual a: 
a) 56 
b) 62 
c) 69 
d) 74 
e) 81 
 
 
3. (Uefs 2018) Uma progressão aritmética (PA) possui 17 termos, todos 
positivos. A diferença entre o maior termo 17(a ) e o menor termo 1(a ) 
desta PA é igual a 48. Sabendo que, dentre os números primos que 
ocorrem nessa PA, 13 é o menor e 43 é o maior, o valor de 1 17a a é: 
a) 59. 
b) 62. 
c) 65. 
d) 68. 
e) 71. 
 
 
4. (Unicamp 2011) No centro de um mosaico formado apenas por 
pequenos ladrilhos, um artista colocou 4 ladrilhos cinza. Em torno dos 
ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos brancos, 
seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, 
alternando camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a 
seguir, que mostra apenas a parte central do mosaico. Observando a figura, 
podemos concluir que a 10ª camada de ladrilhos cinza contém: 
 
 
 
a) 76 ladrilhos. 
b) 156 ladrilhos. 
c) 112 ladrilhos. 
d) 148 ladrilhos. 
 
5. (Upf 2019) De uma progressão aritmética na de razão r, sabe-se que 
8a 16 e 14a 4. Seja nS a soma dos n primeiros termos de na , 
o menor valor de n, de modo que nS 220, é 
a) 12 
b) 11 
c) 14 
d) 16 
e) 18 
 
 
6. (Unesp 2018) A figura mostra cinco retângulos justapostos de uma 
sequência. Todos os retângulos possuem mesma altura, igual a 1 cm. 
 
 
 
Sabendo que 21m equivale a 
2
10.000 cm e que a sequência é 
constituída por 100 retângulos, a figura formada tem área igual a: 
a) 
2
2,5 m . 
b) 
2
4 m . 
c) 
2
5 m . 
d) 
2
2 m . 
e) 
2
4,5 m . 
 
 
 
 
 
 
7. (Uerj 2017) Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos 
 
 
 
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diários para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma 
contusão: 
 
 primeiro dia – corrida de 6 km; 
 dias subsequentes – acréscimo de 2 km à corrida de cada dia 
imediatamente anterior. 
 
O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km. 
 
O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, 
em quilômetros, corresponde a: 
a) 414 
b) 438 
c) 456 
d) 484 
 
8. (Unicamp 2020) Considere que (a, b, 3, c) é uma progressão 
aritmética de números reais, e que a soma de seus elementos é igual a 8. 
O produto dos elementos dessa progressão é igual a: 
a) 30. 
b) 10. 
c) 15. 
d) 20. 
 
9. (Fuvest 2020) O cilindro de papelão central de uma fita crepe tem raio 
externo de 3 cm. A fita tem espessura de 0,01 cm e dá 100 voltas 
completas. 
 
 
 
 
 
Considerando que, a cada volta, o raio externo do rolo é aumentado no 
valor da espessura da fita, o comprimento total da fita é de, 
aproximadamente, 
 
Note e adote: 
3,14.π  
 
a) 9,4 m. 
b) 11,0 m. 
c) 18,8 m. 
d) 22,0 m. 
e) 25,1m. 
 
10. (Ufrgs 2018) Em uma escola, as turmas de ensino médio 
totalizam 231 estudantes. Para uma atividade festiva na escola, 
todos esses estudantes foram dispostos em filas, obedecendo à 
seguinte disposição: 1 estudante na primeira fila, 2 estudantes na 
segunda fila, 3 estudantes na terceira fila, e assim sucessivamente. 
 
O número de filas que foram formadas com todos os estudantes é 
a) 19. 
b) 21. 
c) 22. 
d) 23. 
e) 25. 
 
11. (Famema 2021) A tabela apresenta o padrão de uma sequência 
numérica da linha 1 até a linha x. Admita que o padrão de formação 
da tabela não se modifique. 
 
Linha 1 0,1 0,2 
Linha 2 0,3 0,4 0,5 
Linha 3 0,6 0,7 0,8 0,9 
Linha 4 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 
 
Linha x 63,0 66,5 
 
Sabendo que 63,0 é o primeiro número da linha x e que 66,5 é o 
último, x é igual a 
a) 36. 
b) 34. 
c) 35. 
d) 37. 
e) 33. 
 
12. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2020) Observe o padrão da 
sequência de figuras. 
 
 
 
Seguindo esse padrão, a proporção de quadrados azuis por 
amarelos será igual a 1:100 na figura número 
a) 120. 
b) 152. 
c) 160. 
d) 200. 
e) 184. 
 
13. (Unesp 2002) A Rádio Sinfonia inicia sua programação às 6h. 
A programação é formada por módulos musicais de 20 minutos, 
intercalados por mensagens comerciais de 2 minutos. Em vista 
disso, o primeiro módulo musical se iniciará às 6h (0 minutos após 
as 6h), o segundo às 6h22min (22 minutos após as 6h), e assim por 
diante. Indique por hn a quantidade de minutos, após as 6h, em que 
se iniciará o módulo musical de número n. 
 
a) Escreva uma expressão matemática para hn em função de n. 
 
b) Uma pessoa sintonizou esta rádio às 9h30min, quando estava 
 
 
 
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tocando o décimo módulo musical. 
Determine h10 e quantos minutos a pessoa ouvirá de música, até que 
se inicie a próxima mensagem comercial. 
 
 
 
 
APROFUNDANDO 
 
 
1. (Espcex (Aman) 2019) Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou 
a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até 
o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores 
produzidos no período 2010-2017. 
 
 
 
Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos 
seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017, 
é possível concluir que a meta prevista: 
a) deverá ser atingida, sendo superada em 80 tratores. 
b) deverá ser atingida, sendo superada em 150 tratores. 
c) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 1.850 tratores a menos. 
d) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 150 tratores a menos. 
e) não deverá ser atingida, pois serão produzidos 80 tratores a menos. 
 
 
2. (Udesc 2018) Sejam (16, 18, 20, ...) e 
1 11
, 3, , ...
2 2
 
 
 
 duas 
progressões aritméticas. Estas duas progressões apresentarão somas 
iguais, para uma mesma quantidade de termos somados, quando o valor 
da soma for igual a: 
a) 154 
b) 4.774 
c) 63 
d) 4.914 
e) 1.584 
 
 
3. (Fgv 2018) Os termos de uma sequência são definidos recursivamente 
por 
1
n n 1
a 5
a 2 a 


 
 para todo n , n 2. Sendo assim, a soma dos 
n primeiros termos dessa sequência será dada pela expressão: 
a) 7n 2. 
b) 23,5n 3,5n 5.  
c) 2n 17n 60.  
d) 2n 4n. 
e) 2n 3. 
 
 
4. ( Ifal 2018) Em um grupo de 10 crianças, certo número de bombons foi 
distribuído para cada uma, em uma progressão aritmética crescente, da 
criança de menor estatura para a de maior estatura. Se colocarmos as 
crianças nessa ordem, perceberemos que a terceira criança ganhou 7 
bombons e a oitava ganhou 17. 
 
Quantos bombons foram distribuídos? 
a) 100. 
b) 110. 
c) 120. 
d) 130. 
e) 140. 
 
 
5. (Enem 2018) A prefeitura de um pequeno município do interior decide 
colocar postes para iluminação ao longo de uma estrada retilínea, que inicia 
em uma praça central e termina numa fazenda na zona rural. Como a praça 
já possui iluminação, o primeiro poste será colocado a 80 metros da praça, 
o segundo, a 100 metros, o terceiro, a 120 metros, e assim 
sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância de vinte metros entre 
os postes, até que o último poste seja colocado a uma distância de 1.380 
metros da praça. 
 
Se a prefeitura podepagar, no máximo, R$ 8.000,00 por poste 
colocado, o maior valor que poderá gastar com a colocação desses postes 
é: 
a) R$ 512.000,00. 
b) R$ 520.000,00. 
c) R$ 528.000,00. 
d) R$ 552.000,00. 
e) R$ 584.000,00. 
 
 
6. (Uece 2018) Se 1 2 3 4(a , a , a , a , ) é uma progressão aritmética cuja 
razão é igual a r e se para cada n tomarmos 
2 2
n n 1 nb (a ) (a ) ,  
então, n 1 nb b  é igual a: 
a) 2r. 
b) 22r . 
c) 4r. 
d) 24r . 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (Cmrj 2018) Observe, na figura abaixo, a quantidade de mesas e o 
número máximo de lugares disponíveis em cada configuração: 
 
 
 
 
 
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Considere que a sequência de configurações continue, segundo o padrão 
apresentado. Então, a soma dos algarismos do número máximo de lugares 
disponíveis em uma configuração com 75 mesas é igual a: 
a) 14. 
b) 12. 
c) 10. 
d) 8. 
e) 6. 
 
 
8. (Uece 2017) As medidas, em metro, dos comprimentos dos lados de um 
triângulo formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a 1. Se a 
medida de um dos ângulos internos deste triângulo é 120 , então, seu 
perímetro é: 
a) 5,5. 
b) 6,5. 
c) 7,5. 
d) 8,5. 
 
 
9. (Unicamp 2017) Seja x um número real, 0 x 2,π  tal que a 
sequência (tan x, sec x, 2) é uma progressão aritmética (PA). Então, a 
razão dessa PA é igual a: 
a) 1. 
b) 5 4. 
c) 4 3. 
d) 1 3. 
 
 
10. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Suponha que, em certo país, 
observou-se que o número de exames por imagem, em milhões por ano, 
havia crescido segundo os termos de uma progressão aritmética de razão 
6, chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos. Nessas condições, 
o aumento percentual do número de tais exames, desde o ano da 
observação até ao final do período considerado, foi de: 
a) 130%. 
b) 135%. 
c) 136%. 
d) 138%. 
 
 
11. (Unesp 2016) A figura indica o padrão de uma sequência de grades, 
feitas com vigas idênticas, que estão dispostas em posição horizontal e 
vertical. Cada viga tem 0,5 m de comprimento. O padrão da sequência se 
mantém até a última grade, que é feita com o total de 136,5 metros 
lineares de vigas. 
 
 
 
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer a sequência 
completa de grades, em metros, foi de: 
a) 4.877. 
b) 4.640. 
c) 4.726. 
d) 5.195. 
e) 5.162. 
 
 
12. (Mackenzie 2016) Se log2, xlog(2 1) e xlog(2 3), nessa 
ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o valor de x é: 
a) 2 
b) 2log 3 
c) 2log 5 
d) 32 
e) 52 
 
13. (Unicamp 2014) Dizemos que uma sequência de números reais não 
nulos 1 2 3 4(a , a , a , a ,...) é uma progressão harmônica se a sequência 
dos inversos 
1 2 3 4
1 1 1 1
, , , , ...
a a a a
 
 
 
 é uma progressão aritmética (PA). 
 
a) Dada a progressão harmônica 
2 4 1
, , ,... ,
5 9 2
 
 
 
 encontre o seu 
sexto termo. 
 
b) Sejam a, b e c termos consecutivos de uma progressão 
harmônica. Verifique que 
2ac
b .
a c


 
 
 
14. (Unicamp 2014) O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m 
e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse 
triângulo é igual a: 
a) 3,0 m2. 
b) 2,0 m2. 
c) 1,5 m2. 
d) 3,5 m2. 
 
 
15. (Mackenzie 2013) Em uma progressão aritmética o primeiro termo é 2 
e a razão é 4. Nessa progressão, a média aritmética ponderada entre o 
terceiro termo, com peso 2, e 10% da soma dos cincos primeiros termos, 
com peso 3, é: 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
e) 9 
 
 
16. (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões 
distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, 
e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de 
meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. 
 
 
a) Considere a tabela abaixo. 
 
Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 
35 23,8 cm 
42 27,3 cm 
 
 
 
 
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Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = 
ax + b para a numeração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do 
calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que 
permite obter a numeração dos calçados brasileiros em termos do 
comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que 
fornece o comprimento em termos da numeração. 
 
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados Unidos pode ser 
estabelecida de maneira aproximada pela função real f definida por f(x) 
= 5(x – 20) / 3, em que x é o comprimento do calçado em cm. Sabendo 
que a numeração dos calçados nk forma uma progressão aritmética de 
razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck), com k natural, 
calcule o comprimento c5. 
 
 
17. (Unicamp 2012) Uma curva em formato espiral, composta por arcos 
de circunferência, pode ser construída a partir de dois pontos A e B, que se 
alternam como centros dos arcos. Esses arcos, por sua vez, são 
semicircunferências que concordam sequencialmente nos pontos de 
transição, como ilustra a figura abaixo, na qual supomos que a distância 
entre A e B mede 1 cm. 
 
 
 
 
a) Determine a área da região destacada na figura. 
 
b) Determine o comprimento da curva composta pelos primeiros 20 
arcos de circunferência. 
 
 
18. (Ita 2012) Sabe-se que (x 2y, 3x 5y, 8x 2y, 11x 7y 2z)     
é uma progressão aritmética com o último termo igual a −127. Então, o 
produto xyz é igual a: 
a) −60. 
b) −30. 
c) 0. 
d) 30. 
e) 60. 
 
 
19. (Unifesp 2011) Progressão aritmética é uma sequência de números tal 
que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu 
antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “razão da 
progressão aritmética” e usualmente indicada por r. 
 
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão r, na 
qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice 
par dessa PA, em função de a1, n e r. 
 
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos 
da PA (–224, –220, –216, ...) seja positiva? 
 
 
 
20. (Ufrgs 2020) Considere o padrão de construção de triângulos com 
palitos, representado nas figuras abaixo. 
 
 
 
Na etapa n, serão utilizados 245 palitos. Nessas condições, n é igual 
a: 
a) 120. 
b) 121. 
c) 122. 
d) 123. 
e) 124. 
 
 
21. (Famerp 2020) Observe o padrão da sequência de figuras. 
 
 
 
Mantido o padrão, a figura que terá a quantidade de bolas brancas 
superando a de bolas verdes em 286 será a de número: 
a) 13. 
b) 18. 
c) 14. 
d) 16. 
e) 21. 
 
22. (Mackenzie 2019) Se 1 4 7 10 N 925,      então o valor 
de N é igual a: 
a) 69 
b) 71 
c) 73 
d) 75 
e) 77 
 
 
23. (Unicamp 2021) Sejam a, b números reais positivos. 
Considere a sequência de polígonos 1 2 nP , P , , P , construídos 
da seguinte forma: 
 
1. 1P é um retângulo de lados a e b, como mostra a figura 1; 
2. 2P é obtido de 1P , retirando dele um retângulo de lados 
medindo a 2 e b 2, como mostra a figura 2; 
3. 3P é obtido de 1P , retirando dele 3 retângulos de lados 
medindo a 3 e b 3, como mostra a figura 3; 
4. 4P é obtido de 1P , retirando dele 6 retângulos de lados 
medindo a 4 e b 4, como mostra a figura 4; 
5. E assim, sucessivamente, nP é obtido de 1P , como mostra a 
 
 
 
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figura 5. 
 
 
 
a) Determine o perímetro e o número de lados de 2021P . 
b) Seja nA a área do polígono nP , e seja A a área do triângulo 
retângulo de catetos com medidas a e b. Encontre a razão 
n
n
A
R ,
A
 para n arbitrário. 
 
24. (Esc. Naval 2020) Seja 2nS n n 1   a soma dos termos de 
uma sequência numérica (n *). Sobre essa sequência assinale a 
opção correta. 
a) Essa sequência numérica não é uma progressão aritmética. 
b) Adiferença entre o quinto e o quarto termo é 3. 
c) Sua razão é 4. 
d) nS é um número múltiplo de 7. 
e) Seu sétimo termo é 32. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
[B] 
 
Tem-se que a altura h, em centímetros, de uma pilha de n cadeiras, 
n 1, em relação ao chão, é dada por 
 
h 48 3(n 1) 44 3n 89.      
 
Portanto, se h 140 cm, então 140 3n 89 n 17.    
 
Resposta da questão 2: 
[B] 
 
Da PA  x, x 3, 2x 1, ... ,  temos: 
 2 3 x x 2x 1
6 2x 3x 1
x 5
    
  

 
 
Assim, temos: 
PA (5, 8, 11, ); razão: r 3. 
20
20
a 5 19 3
a 62
  

 
 
Resposta da questão 3: 
[D] 
 
Do enunciado, temos: 
17 1
1 1
a a 48
a 16r a 48
16r 48
r 3
 
  


 
 
Como 13 é o menor primo que aparece na PA e 43 é o maior, temos a 
seguinte PA, 
10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58 
 
Daí, 
1a 10 e 17a 58, logo, 1 17a a 68.  
 
 
Resposta da questão 4: 
[D] 
 
O número de ladrilhos em cada “lado” das camadas cinza constitui a 
progressão aritmética (2, 6,10, ). Desse modo, o “lado” da 10ª camada 
terá 
10 1a a (n 1)r
2 (10 1) 4
2 36
38 ladrilhos.
  
   
 

 
Portanto, a 10ª camada de ladrilhos cinza contém 4 (38 2) 4 148    
ladrilhos. 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
[B] 
 
Calculando: 
 
 
     
8 1
14 1
1 1
n
n 2
n
2
2
a a 7r 16
a a 13r 4
6r 12 r 2
a 14 16 a 30
a 30 2 n 1 31 2n
30 a n 30 32 2n n 62 2n n
S 220 220 220 62n 2n 440 0
2 2 2
n 31n 220 0
31 4 ( 1) ( 220) 81
n 20
31 81
n ou
2 ( 1)
n 11
  

  
    
   
     
      
         
   
       

 
 
 

 
 
Assim, o menor valor de n será igual a 11. 
 
 
Resposta da questão 6: 
[D] 
 
As áreas dos retângulos constituem a sequência (2, 6,10,14, ), ou 
seja, uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão igual a 4. 
Por conseguinte, a resposta é 
2 22 2 99 4
100 20000cm 2 m .
2
   
   
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 7: 
[C] 
 
Sendo a quilometragem percorrida uma PA, pode-se escrever: 
1
n
a 6
a 42
n número de dias
r 2
42 6 (n 1) 2 18 n 1 n 19
(6 42) 19 48 19
S S 456 km
2 2




        
  
   
 
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
Seja r a razão da progressão aritmética, de tal sorte que 
 
(a, b, 3, c) (3 2r, 3 r, 3, 3 r).    
 
Logo, como a soma de seus elementos é igual a 8, temos 
 
3 2r 3 r 3 3 r 8 r 2.         
 
A resposta é ( 1) 1 3 5 15.      
 
Resposta da questão 9: 
[D] 
 
O comprimento total da fita é igual a 
3,01 4
2 3,01 2 3,02 2 4 2 100
2
2201,14cm
22 m.
π π π π

        


 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
A sequência  1, 2, 3, ..., n é uma progressão aritmética tal que 
S 231 e n é o total de filas formadas com todos os estudantes. 
Daí, 
 
 
2
2
2
1 n n
231
2
2 231 n n
n n 462 0
1 1 4 1 462
n
2 1
1 1849
n
2
1 43
n
2
 

  
  
     


 

 

 
 
Como n 0, 
1 43
n
2
n 21
 


 
 
Assim, foram formadas 21 filas com todos os estudantes. 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Os termos de cada linha constituem uma progressão aritmética de 
razão 0,1. Ademais, o número de termos de uma linha n qualquer 
é n 1. Logo, temos 
66,5 63 (x 1 1) 0,1 x 35.       
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
A sequência de quadrados azuis forma uma P.A. de razão de razão 
2. 
(4, 6, 8, 10, ), portanto seu n-ésimo termo será dado por: 
n na 4 (n 1) 2 a 2 n 2        
 
Determinando, agora, o termo geral da sequência de quadrados 
amarelos. 
1
2
3
4
n
b 1 2
b 2 3
b 3 4
b 4 5
b n (n 1)
 
 
 
 
  
 
 
A razão entre o número de quadrados azuis e o número de 
quadrados amarelos na figura n será dada por: 
n
n
a 2n 2 2(n 1) 2
b n(n 1) n(n 1) n
 
  
 
 
 
Determinando, agora, o valor de n quando a razão é 1: 100, 
obtemos: 
2 1
n 200
n 100
   . 
 
Resposta: [D] 200. 
 
Resposta da questão 13: 
 a) 22 (n-1). 
 
b) h10 = 198. A pessoa ouvirá 8 minutos de música. 
 
APROFUNDANDO 
 
 
Resposta da questão 1: 
[E] 
 
A sequência acima nos mostra uma P.A. de 16 termos e razão igual a 
70. 
 
O primeiro passo será encontrar seu décimo sexto termo, ou seja, 
determinar a quantidade de tratores que serão produzidos em 2025. 
16 1 16 16a a 15 r a 720 15 70 a 1770         
 
Calculando, agora, a produção total até 2025 (a soma dos 16 primeiros 
termos da P.A.). 
 
 
 
Página 8 de 11 
 
16
720 1770 16
S 19.920
2
 
  
 
Portanto, a meta prevista não deverá ser atingida, pois serão produzidos 
80 tratores a menos. 
 
 
Resposta da questão 2: 
[D] 
 
Se as somas são iguais para algum n, então 
1 5
(16 n 1) n (n 1) n 4n 60 5n 3
2 4
n 63.
 
            
 
 
 
 
Por conseguinte, a resposta é (63 15) 63 4914.   
 
 
Resposta da questão 3: 
[D] 
 
Calculando: 
 
   
1
n n 1
5
2
2
a 5
a 2 a
r 2
a 5 n 1 2 2n 3
5 2n 3 n 2n 8 n 2n 8n
S n 4n
2 2 2



 

     
     
    
 
 
 
Resposta da questão 4: 
[C] 
 
Considere a seguinte situação: 
 
Sabendo que: 10 1a a 9r  
3 1
3 8 1 1 1 10
8 1
a a 2r
a a 2 a 9r 7 17 2 a 9r 24 a a
a a 7r
 
            
 
 
 
Logo, 
1 10(a a ) n 24 10S 120
2 2
  
   
 
 
Resposta da questão 5: 
[C] 
 
As distâncias dos postes até a praça constituem uma progressão aritmética 
de primeiro termo 80 e razão 20. Desse modo, o número, n, de postes 
é dado por 
1300
1380 80 (n 1) 20 n 1
20
n 66.
      
 
 
 
A resposta é 66 8000 R$ 528.000,00.  
 
 
Resposta da questão 6: 
[B] 
 
De    
2 2
n n 1 nb a a ,  
   
   
 
 
  
 
n n 1 n n 1 n
n n n n n
n n
n 1 n 1
n 1 n
n 1 n
b a a a a
b a r a a r a
b 2a r r
b 2a r r
b 2 a r r r
b 2a 3r r
 
 


   
     
  
  
    
  
 
 
Daí, 
   
 
n 1 n n n
n 1 n n n
n 1 n
2
n 1 n
b b 2a 3r r 2a r r
b b r 2a 3r 2a r
b b r 2r
b b 2r




      
     
  
 
 
 
Resposta da questão 7: 
[D] 
 
Do enunciado, o número de lugares disponíveis em cada uma das 
configurações forma a seguinte sequência: 
1 mesa:  4 lugares 2 1 2 lugares   
2 mesas:  6 lugares 2 2 2 lugares   
3 mesas:  8 lugares 2 3 2 lugares   
 
75 meses:  75 lugares 2 75 2 lugares 152 lugares    
 
Assim, a soma dos algarismos do número máximo de lugares disponíveis 
em uma configuração com 75 mesas é igual a 1 5 2 8.   
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
Sabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao seu maior ângulo. 
Podemos, então aplicar o teorema dos cossenos no triângulo considerado 
no enunciado: 
 
 
 
 
 
 
Página 9 de 11 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
(x 1) x (x 1) 2 x (x 1) cos120
1
x 2x 1 x x 2x 1 2 x (x 1)
2
x 2x 1 x x 2x 1 x x
5
2x 5x 0 x 0 (não convém) ou x
2
         
 
            
 
       
    
 
 
Portanto, o perímetro P do triângulo será dado por: 
5
P x x 1 x 1 3x 3 7,5.
2
         
 
 
Resposta da questão 9: 
[D] 
 
Calculando: 
 
 1 2 3 2 1 3
2
2 2 2 2
PA a , a , a 2a a a
1 sen x
2sec x 2 t g x 2 2 sen x 2cos x 2 sen x 2 2cos x
cos x cos x
sen x 1 cos x
1 cos x 2 2cos x 1 cos x 4 8cos x 4cos x 5cos x 8cos x 3 0
3
cos x ou cos x 1 (não convém)
5
5 4
sec x ; tgx
3 3
5 4 1
PA r r
3 3 3
   
           
 
           
 
 
    
 
 
Resposta da questão 10: 
[B] 
 
Calculando o primeiro elemento da PA de acordo com os dados do 
enunciado, tem-se: 
 
n 1
10
1 1
a a (n 1) r
a 94
n 10
r 6
94 a (10 1) 6 a 40
   



    
 
 
Ao final de 10 anos, o número de exames por imagem aumentou de 40 
milhões por ano para 94 milhões por ano. Isso representa um aumento de: 
94 40 54
1,35 135%
40 40

   
 
Resposta da questão 11: 
[C] 
 
O número de vigas em cada grade cresce segundo a progressão aritmética 
(5, 9, 13, , 4n 1), com n sendo um natural não nulo. Logo, se cada 
viga mede 0,5 m e a última grade foi feita com 136,5 metros lineares de 
vigas, então: 
 
(4n 1) 0,5 136,5 n 68.     
 
Portanto, o comprimento total de vigas necessárias para fazer a sequência 
completa de grades, em metros, foi de: 
 
5 273
0,5 68 4.726.
2
 
   
 
 
 
Resposta da questão 12: 
[C] 
 
Sabendo que o termo central é média aritmética dos extremos, temos: 
 
x x x 2 x
x 2 x
x 2
x
2
2 log(2 1) log2 log(2 3) log(2 1) log2 (2 3)
(2 1) 2 (2 1) 8
(2 2) 9
2 5
x log 5.
         
     
  
 
 
 
 
Resposta da questão 13: 
 
 a) Se a progressão 
2 4 1
, , ,
5 9 2
 
 
 
 é harmônica, então a sequência 
5 9
, , 2,
2 4
 
 
 
 é uma progressão aritmética de razão 
9 5 1
.
4 2 4
   
 
Daí, seu sexto termo é dado por: 
 
6
5 1 5
a 5 .
2 4 4
 
     
 
 
Em consequência, o resultado pedido é 
4
.
5
 
 
b) Sabendo que em toda progressão aritmética cada termo é igual à média 
aritmética do seu antecessor e do seu sucessor (exceto o primeiro e o 
último), tem-se: 
 
1 1
1 2 a ca c
b 2 b ac
2ac
b .
a c


  
 

 
 
Resposta da questão 14: 
[C] 
 
Sejam x, x r e x 2r as medidas, em metros, dos lados do triângulo, 
com x, r 0. 
 
Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r. Logo, os lados 
do triângulo medem 3r, 4r e 5r. 
 
Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem: 
 
1
3r 4r 5r 6 r .
2
     
 
Portanto, a área do triângulo é igual a 
 
2
23r 4r 1
6 1,5 m .
2 2
  
   
 
 
 
Resposta da questão 15: 
[D] 
 
O terceiro termo da P.A. será dado por: a3 = 2 + 2.4 = 10 
O quinto termo da P.A. será dado por: a5 = 2 + 4.4 = 18 
A soma dos cinco primeiros termos será dada por: 
 
 
 
Página 10 de 11 
 
  5
5
S 2 18 50.
2
   
 
Logo, a média M pedida será dada por: 
 
   10 2 3 0,1 50 20 1
M 7.
5 5
5    
   
 
Resposta da questão 16: 
 
a) t(x) = ax + b 
 
27,3.a b 42
23,8.a b 35
 

 
 
 
Resolvendo o sistema, temos: a = 2 e b = –12,6. 
 
Logo t(x) = 2x – 12,6. 
 
Agora escrevendo x em função de t, temos: 
 
x(t) = 0,5t + 6,3, portanto c = 0,5 e t = 6,3. 
 
b) 
5.(x 20)
f(x)
3

 
 
n1 = 5, n2 = 5,5, n3 = 6, n4 = 6,5 e n5 = 7. 
 
Fazendo 5
5.(c 20)
7 ,
3

 temos: 
5 5c – 100 = 21 
5 5c = 121 
5c = 24,2 cm 
 
Resposta da questão 17: 
 
a) 
2 2
.3 .4 25
A .
2 2 2
π π π
   
b) 
( 20. ).20
2. 3. 4. ... 20. 210 .
2
π π
π π π π π π

       
 
 
 
Resposta da questão 18: 
[A] 
 
Progressão Aritmética  1 2 3a ,a ,a , . Logo, 2 1 3 2a a a a .   
Portanto, 
       
3
3x 5y x 2y 8x 2y 3x 5y y x
10
          
 
A PA ficará representada em função de x por: 
2x 9x 43x
, , , 127
5 2 5
 
 
 
 
Aplicando propriedades de PA, temos: 
2x 9x 43x
127 x 10
5 2 5
      e y 3 
 
Como 11x 7y 2z 127 z 2      
 
Portanto,    x y z 10 3 2 60      
 
Resposta da questão 19: 
 
a) Seja S a soma pedida. 
 
 
2 4 6 n
1 1 1 1
1 1
1
1
S a a a a
(a r) (a 3r) (a 5r) [a (n 1)r]
[a r a (n 1)r] n
2 2
(2a r nr r)n
4
(2a nr)n
.
4
   
        
   
 
  



 
 
b) A soma dos n primeiros termos da PA é dada por 
 1n
[2a (n 1)r]n
S .
2
 
 
 Queremos calcular o valor mínimo de n tal que nS 0. 
 [2 ( 224) (n 1) 4] n 0 [ 112 (n 1)] n 0 n (n 113) 0.
2
     
           
 Portanto, como n 0, devemos ter n 114. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 20: 
[C] 
 
O número de palitos em cada etapa cresce segundo a sequência 
(3, 5, 7, , 2n 1, ), com n .

 A sequência é uma progressão 
aritmética de primeiro termo 1a 3 e razão r 2. 
Em consequência, temos 
2n 1 245 n 122.    
 
 
Resposta da questão 21: 
[B] 
 
O número de bolas brancas cresce segundo a sequência 
2
(1, 4, 9,16, , n , ), enquanto que o número de bolas verdes cresce 
segundo a sequência (4, 6, 8, 10, , 2n 2, ), com n sendo o 
número da figura. 
 
 
 
Página 11 de 11 
Portanto, o número da figura que terá a quantidade de bolas brancas 
superando a de bolas verdes em 286 é tal que 
2 2
n 2n 2 286 n 2n 288 0
n 18.
      
 
 
 
Resposta da questão 22: 
[C] 
 
Desde que (1, 4, 7, , N) é uma progressão aritmética de primeiro termo 
1a 1 e razão r 3, temos 
N 1 (n 1) 3 3n 2.      
 
Portanto, vem 
2
1 3n 2
1 4 7 10 3n 2 925 n 925
2
3n n 1850 0
n 25.
  
         
 
   
 
 
 
A resposta é N 3 25 2 73.    
 
 
Resposta da questão 23: 
 a) O perímetro do polígono nP é dado por 
a b
a b n n 2a 2b.
n n
       
 
O número de lados do polígono nP é igual a 
1 1 n n 2n 2.     
Portanto, segue que o perímetro e o número de lados de 2021P 
são, respectivamente, iguais a 2(a b) e 2 2021 2 4044.   
 
b) O polígono nP é constituído de 
1 n
1 2 3 n n
2
 
      
 
 
retângulos de lados 
a
n
 e 
b
.
n
 Logo, segue que 
 
n
1 n a b
A n
2 n n
ab n 1
.
2 n
 
    
 
 
   
 
 
 
Em consequência, sendo 
ab
A ,
2
 podemos concluir que a 
resposta é 
n
ab n 1
2 n
R
ab
2
n 1
.
n
 
  
 



 
 
Resposta da questão 24: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2
1 1
2
2 2 1
a S 1 1 1 3,
a S a 2 2 1 3 4
    
      
 
 
e 
2
3 3 2a S S 3 3 1 7 6.       
 
Logo, como 2 1a a 4 3 1    e 3 2a a 6 4 2    podemos 
concluir que essa sequência numérica não é uma progressão 
aritmética.