16. Seja b um real não nulo de modo que a equação do segundo grau x 2+ b 2 x + p π= 0 tenha raízes reais x1 e x2. Se x1 p π= x2(b x2− p π), prove q...

Para provar que b é negativo, podemos utilizar o discriminante da equação do segundo grau, que é dado por Δ = b² - 4ac. Sabemos que a equação tem raízes reais, portanto Δ ≥ 0. Substituindo os valores de a, b e c na fórmula do discriminante, temos: Δ = b² - 4ac Δ = b² - 4(1)(p/π) Δ = b² - 4p/π Como Δ ≥ 0, temos: b² - 4p/π ≥ 0 b² ≥ 4p/π b²π ≥ 4p b² ≥ 4p/π Agora, vamos utilizar a informação dada no enunciado: x1 = x2(bx2 - p/π). Substituindo x1 por x2(bx2 - p/π), temos: x2(bx2 - p/π)² + b²x2 + p/π = 0 Expandindo o quadrado, temos: x2(b²x4 - 2pbx2/π + p²/π²) + b²x2 + p/π = 0 b²x6 - 2pbx4/π + p²x2/π² + b²x2π + pπ = 0 b²x6 + (p²/π² + b²π)x2 - 2pbx4/π + pπ = 0 Sabemos que x1 e x2 são raízes da equação, portanto: x1² + b²x1 + p/π = 0 x2² + b²x2 + p/π = 0 Substituindo x1 por x2(bx2 - p/π) e x2 por x2, temos: x2(bx2 - p/π)² + b²x2 + p/π = 0 x2² + b²x2 + p/π = 0 Subtraindo a segunda equação da primeira, temos: x2(bx2 - p/π)² - x2² = 0 x2(bx2 - p/π)² = x2² bx2 - p/π = ±x2/√(b) Se b fosse positivo, teríamos: bx2 - p/π > 0 bx2 > p/π x2 > p/πb Substituindo x2 por p/πb na equação x2(bx2 - p/π)² = x2², temos: (p/πb)(b(p/πb) - p/π)² = (p²/π²b²)(b - 1)² = p²/π²b²(b - 1)² Como b é positivo, temos (b - 1)² > 0, portanto p²/π²b²(b - 1)² > 0. Isso significa que x2(bx2 - p/π)² > x2², o que é uma contradição. Portanto, b não pode ser positivo. Como b é não nulo, concluímos que b é negativo.