Sejam m e n inteiros positivos tais que x =m + p n é uma raiz da equação x 2−10x + 1= p x (x +1). Determine m +n .

Primeiramente, vamos simplificar a equação: x^2 - 10x + 1 = x√(x+1) Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: x^4 - 20x^3 + 101x^2 - 20x + 1 = x^3 + x^2√(x+1) Isolando a raiz, temos: x^2√(x+1) = x^4 - 20x^3 + 100x^2 - 20x + 1 Elevando ambos os lados ao quadrado novamente, temos: x^5 + x^4 - 20x^4√(x+1) + 101x^3 - 40x^3√(x+1) + 100x^4 - 40x^2 + 20x^2√(x+1) - 20x√(x+1) + 1 = x^4(x+1) Simplificando, temos: x^5 - 19x^4√(x+1) + 61x^3 - 20x^3√(x+1) + 100x^2 - 20x^2√(x+1) - 20x√(x+1) + 1 = 0 Substituindo x = m + n√(p), temos: (m + n√(p))^5 - 19(m + n√(p))^4√(m + n√(p) + 1) + 61(m + n√(p))^3 - 20(m + n√(p))^3√(m + n√(p) + 1) + 100(m + n√(p))^2 - 20(m + n√(p))^2√(m + n√(p) + 1) - 20(m + n√(p))√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias, temos: (m^5 + 5m^4n√(p) + 10m^3n^2p + 10m^2n^3p√(p) + 5mn^4p^2 + n^5p√(p)^3) - 19(m^4 + 4m^3n√(p) + 6m^2n^2p + 4mn^3p√(p) + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 183m^2n√(p) + 183mn^2p + 61n^3p√(p)) - 20(m^3 + 3m^2n√(p) + 3mn^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20(m^2 + n^2p)√(m + n√(p) + 1) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^3 + 366mn^2p) - 20(3m^2n^2p + n^3p√(p))√(m + n√(p) + 1) + (100m^2 + 100n^2p) - 20mn√(m + n√(p) + 1) + 1 = 0 Igualando as partes reais e imaginárias a zero, temos: (m^5 + 10m^3n^2p + 5mn^4p^2) - 19(m^4 + 6m^2n^2p + n^4p)√(m + n√(p) + 1) + (61m^