Se os coeficientes da equação quadrática a x 2+ b x + c = 0 são números inteiros ímpares, prove que as raízes da equação não podem ser números raci...

Para provar que as raízes da equação quadrática com coeficientes inteiros ímpares não podem ser números racionais, podemos utilizar o método da contradição. Suponha que as raízes da equação sejam números racionais. Então, podemos escrevê-las na forma p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente de zero. Além disso, podemos supor que p e q não têm fatores em comum, ou seja, são primos entre si. Substituindo as raízes na equação quadrática, temos: a(p/q)^2 + b(p/q) + c = 0 Multiplicando ambos os lados por q^2, obtemos: ap^2 + bpq + cq^2 = 0 Como a, b e c são ímpares, podemos escrevê-los na forma a = 2m + 1, b = 2n + 1 e c = 2k + 1, onde m, n e k são inteiros. Substituindo esses valores na equação acima, temos: (2m + 1)p^2 + (2n + 1)pq + (2k + 1)q^2 = 0 Dividindo ambos os lados por 2, obtemos: mp^2 + npq + kq^2 + p^2 + q^2 = 0 Observe que o primeiro termo (mp^2) é par, o segundo termo (npq) é par e o terceiro termo (kq^2) é par. Portanto, a soma desses três termos é par. No entanto, o quarto termo (p^2 + q^2) é ímpar, pois p e q são primos entre si e, portanto, não podem ter a mesma paridade. Logo, a soma dos quatro termos é ímpar, o que é uma contradição. Portanto, concluímos que as raízes da equação quadrática com coeficientes inteiros ímpares não podem ser números racionais.