15. Provar que se uma PA apresenta m na x,a y= = e pa z,= então verifica-se a relação: (n p)x (p m)y (m n)z 0.− + − + − =

Para provar que a relação (n p)x (p m)y (m n)z 0.− + − + − = é verdadeira, podemos utilizar a fórmula do termo geral de uma PA: an = a1 + (n-1)r Onde: an é o termo geral da PA; a1 é o primeiro termo da PA; n é a posição do termo na PA; r é a razão da PA. Podemos utilizar essa fórmula para encontrar os valores de x, y e z: x = a1 + (m-1)r y = a1 + (n-1)r z = a1 + (p-1)r Substituindo esses valores na relação dada, temos: (n p)x (p m)y (m n)z 0.− + − + − = (n + p - 1)a1 + (m - p)r + (n - m)r 0.− + − + − = Simplificando a expressão, temos: (n + p - 2)a1 + (n - m + p - 1)r 0.− + − + − = Como a1 e r são constantes, podemos afirmar que a relação é verdadeira, pois a soma de constantes é uma constante. Portanto, a relação (n p)x (p m)y (m n)z 0.− + − + − = é verdadeira.