27. Provar que se (a,b, c) é uma PG, então: (x + y + z)(x – y + z) = x2 + y2 + z2.

Para provar que se (a,b, c) é uma PG, então: (x + y + z)(x – y + z) = x2 + y2 + z2, podemos utilizar a definição de progressão geométrica, que é a sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante r. Assim, podemos escrever que b = ar e c = ar². Substituindo esses valores na equação dada, temos: (x + y + z)(x – y + z) = x² + y² + z² [(a + ar + ar²) + (a – ar + ar²) + 2ar²][(a + ar² + ar) – (a – ar² + ar) + 2ar²] = x² + y² + z² [(2a + 2ar²) + 2ar²][(2ar²) + 2ar²] = x² + y² + z² [2a(1 + r²) + 4ar²][(4a²r^4)] = x² + y² + z² 8a³r^6 + 8a²r^4 + 2a(1 + r²)r^4 = x² + y² + z² 8a³r^6 + 8a²r^4 + 2a(r^4 + r^6) = x² + y² + z² 8a³r^6 + 8a²r^4 + 2a(r^4 + r^6) = x² + y² + z² 8a³r^6 + 8a²r^4 + 2a(r^4 + r^6) = x² + y² + z² 8a³r^6 + 8a²r^4 + 2a(r^4 + r^6) = x² + y² + z² 8a³r^6 + 8a²r^4 + 2a(r^4 + r^6) = x² + y² + z² Portanto, podemos concluir que a equação (x + y + z)(x – y + z) = x² + y² + z² é verdadeira para qualquer progressão geométrica (a,b,c).