53. Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente...

a) Para encontrar os valores possíveis para a razão q, podemos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG finita: Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) Sabemos que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores, então podemos escrever: an = an-1 + an-2 Substituindo os valores pelos termos da PG, temos: a3 = a2 + a1 a4 = a3 + a2 = 2a2 + a1 a5 = a4 + a3 = 3a2 + 2a1 a6 = a5 + a4 = 5a2 + 3a1 ... Podemos perceber que a razão q é igual à razão entre dois termos consecutivos. Então, podemos escrever: q = a3 / a2 = a4 / a3 = a5 / a4 = ... Substituindo pelos valores encontrados acima, temos: q = (a2 + a1) / a2 = 2a2 + a1 / (a2 + a1) = 3a2 + 2a1 / (2a2 + a1) = ... Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos duas raízes: q1 = (1 + sqrt(5)) / 2 q2 = (1 - sqrt(5)) / 2 Portanto, os dois valores possíveis para a razão q são q1 e q2. b) Sabemos que o primeiro termo é 152 e q > 0. Então, podemos escrever: a1 = 152 a2 = q * a1 a3 = q * a2 + a1 Substituindo pelos valores encontrados acima, temos: a2 = q * 152 a3 = q * q * 152 + 152 A soma dos três primeiros termos é dada por: S3 = a1 + a2 + a3 Substituindo pelos valores encontrados acima, temos: S3 = 152 + q * 152 + q * q * 152 + 152 Simplificando, temos: S3 = 305 + 304q + 152q^2 Substituindo pelos valores de q1 e q2, temos: S3(q1) = 305 + 304q1 + 152q1^2 ≈ 457,91 S3(q2) = 305 + 304q2 + 152q2^2 ≈ -76,91 Portanto, a soma dos três primeiros termos da PG é aproximadamente 457,91 se q > 0 e é aproximadamente -76,91 se q < 0.