Resolva os três itens abaixo. a) O primeiro termo de uma progressão geométrica de razão positiva é 5, e o terceiro termo é 45. Calcule a soma dos...

a) Para encontrar a razão da progressão geométrica, podemos utilizar a fórmula geral do termo geral da PG: an = a1 * q^(n-1), onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo e q é a razão. Substituindo os valores dados, temos: 45 = 5 * q^(3-1) => 45 = 5 * q^2 => q^2 = 9 => q = 3 ou q = -3 (mas como a razão é positiva, descartamos a solução negativa). Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG finita: Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1). Substituindo os valores dados, temos: S6 = 5 * (3^6 - 1) / (3 - 1) = 5 * (729 - 1) / 2 = 1820. Portanto, a soma dos 6 primeiros termos dessa progressão é 1820. b) Podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita: Sn = (a1 + an) * n / 2. Para encontrar a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4, precisamos encontrar a soma dos números ímpares menores do que 112 e subtrair a soma dos múltiplos de 4 menores do que 112. A soma dos números ímpares menores do que 112 é dada por: S1 = (1 + 111) * 56 / 2 = 3136. A soma dos múltiplos de 4 menores do que 112 é dada por: S2 = (4 + 108) * 28 / 2 = 1512. Portanto, a soma dos números inteiros positivos menores do que 112 e não divisíveis por 4 é dada por: S = S1 - S2 = 3136 - 1512 = 1624. c) A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita é dada por: Sn = (a1 + an) * n / 2. Substituindo os valores dados, temos: n(2n 1) = (a1 + a20) * 20 / 2 => 2n^2 - n = 10(a1 + a20) => a20 = (2n^2 - n) / 10 - a1. Como queremos encontrar o vigésimo termo, podemos utilizar a fórmula geral do termo geral da PA: an = a1 + (n-1) * r, onde an é o n-ésimo termo, a1 é o primeiro termo e r é a razão. Substituindo os valores encontrados, temos: a20 = a1 + 19r => (2n^2 - n) / 10 - a1 = a1 + 19r => 2n^2 - n = 20a1 + 190r. Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA infinita: Sn = a1 / (1 - r). Substituindo os valores dados, temos: n(2n 1) = a1 + a1 + (n-1)r * n / 2 => 2n^2 - n = 2a1 + (n-1)r * n => r = (2n^2 - n - 2a1) / n(n-1). Substituindo esse valor na equação anterior, temos: 2n^2 - n = 20a1 + 190 * (2n^2 - n - 2a1) / n(n-1) => 2n^2 - n = 20a1 + 380n - 380a1 => 2n^2 - 381n + 360a1 = 0. Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos: n = 20 e a1 = 1. Portanto, o vigésimo termo dessa progressão aritmética é dado por: a20 = a1 + 19r = 1 + 19 * (2 * 20^2 - 20 - 2 * 1) / (20 * 19) = 763.