5. (FMJ 2021) Em um hexágono regular foram traçadas duas diagonais e um segmento de reta, cujas extremidades são um ponto sobre um dos lados e um p...

Para resolver essa questão, é necessário utilizar algumas propriedades do hexágono regular. Primeiramente, sabemos que a soma dos ângulos internos de um hexágono é igual a 720º. Como o hexágono é regular, todos os ângulos internos têm a mesma medida, que pode ser calculada por meio da fórmula: Ângulo interno = (720º) / (número de lados) = 120º Além disso, sabemos que as diagonais de um hexágono regular dividem o hexágono em triângulos equiláteros. Portanto, cada ângulo interno desses triângulos mede 60º. Na figura da questão, podemos observar que o ângulo α é um ângulo interno do triângulo equilátero formado pelas diagonais do hexágono. Portanto, α = 60º. O ângulo β é um ângulo interno do triângulo formado pela diagonal e pelo segmento de reta. Esse triângulo não é equilátero, mas podemos calcular o ângulo β utilizando a lei dos cossenos: cos β = (a² + b² - c²) / (2ab) Onde: - a é o lado do hexágono (que é igual ao raio da circunferência circunscrita ao hexágono); - b é o lado do triângulo equilátero formado pelas diagonais; - c é o lado do triângulo formado pela diagonal e pelo segmento de reta. Como o hexágono é regular, podemos calcular o lado a utilizando a fórmula: a = R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao hexágono. Podemos calcular o lado b utilizando a relação entre o lado do triângulo equilátero e o raio da circunferência circunscrita: b = (2/3)R Finalmente, podemos calcular o lado c utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pelo segmento de reta, a diagonal e a altura do triângulo equilátero: c² = a² - b² c² = R² - (2/3)²R² c² = (5/9)R² c = (sqrt(5)/3)R Substituindo esses valores na lei dos cossenos, temos: cos β = (R² + (2/3)²R² - (sqrt(5)/3)²R²) / (2R * (2/3)R) cos β = (13/36) - (5/36)sqrt(5) β = arccos[(13/36) - (5/36)sqrt(5)] β ≈ 59,2º Portanto, α + β = 60º + 59,2º = 119,2º. A alternativa correta é a letra B) 215º.