Exemplo 1: Considere dois ângulos cujas medidas a e b, em graus, são tais que a + b = 90° e 4sena − 10senb = 0 Nessas condições, é correto concluir...

Podemos resolver essa questão utilizando a identidade trigonométrica seno: sen(a+b) = sena*cosb + senb*cosa Substituindo a+b por 90°, temos: sena*cosb + senb*cosa = sen(a+b) = sen90° = 1 Como a+b = 90°, temos que senb = cosa. Substituindo na equação acima, temos: sena*cosb + senb*cosa = sena*cosa + sena*cosa = 2sena*cosa = 1 Dividindo ambos os lados por 2cos(a), temos: sena/cosa = 1/2cos(a) Utilizando a identidade trigonométrica tangente: tga = sena/cosa Substituindo o resultado acima, temos: tga = 1/2cos(a) Agora, podemos utilizar a equação dada no enunciado: 4sena - 10senb = 0 Substituindo senb por cosa, temos: 4sena - 10cosa = 0 Dividindo ambos os lados por 2, temos: 2sena - 5cosa = 0 Dividindo ambos os lados por 2cos(a), temos: tga - 5/2 = 0 Portanto, temos que tga = 5/2. Substituindo a+b por 90° na equação sena*cosb + senb*cosa = 1, temos: senb*cosa + cosa*sena = 1 Dividindo ambos os lados por sena*cosa, temos: tgb + 1/tgb = sec(a) Utilizando a identidade trigonométrica secante: sec(a) = 1/cosa Substituindo o resultado encontrado anteriormente, temos: tgb + 1/tgb = 2/5 Multiplicando ambos os lados por tgb, temos: tgb^2 + 1 = (2/5)*tgb Multiplicando ambos os lados por 5, temos: 5tgb^2 + 5 = 2tgb Organizando a equação em ordem decrescente, temos: 5tgb^2 - 2tgb + 5 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: tgb = (2 ± √(-76))/10 Como não existe tangente de um ângulo cujo cosseno é maior que 1, temos que a única solução possível é: tgb = (2 - √(-76))/10 Portanto, a resposta correta é a alternativa E) tga = 5/2 e tgb = 2/5.