41. (ITA – 1998) Sejam x e y números reais tais que:       1yyx3 1xy3x 32 23 . Então, o número complexo z = x + iy é tal que z3 e |z|, val...

Para resolver essa questão, podemos começar encontrando o valor de x e y. Temos: y - x^3 = -1 x - y^3 = -1 Somando as duas equações, temos: x + y - x^3 - y^3 = -2 Podemos fatorar a soma dos cubos: (x + y)(1 - x^2 + xy - y^2) = -2 Substituindo xy por 3x + 2y (da segunda equação), temos: (x + y)(1 - x^2 + 3x + 2y - y^2) = -2 (x + y)(1 - x^2 - y^2 + 3x + 2y) = -2 (x + y)(1 - (x^2 + y^2) + 3x + 2y) = -2 (x + y)(3x + 2y - x^2 - y^2 + 1) = -2 Agora, podemos encontrar o valor de z: z = x + iy z^3 = (x + iy)^3 = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3) Para que z^3 seja igual a 1 - i, precisamos ter: x^3 - 3xy^2 = 1 3x^2y - y^3 = -1 Podemos somar as duas equações e obter: x^3 + 3x^2y - 3xy^2 - y^3 = 0 Podemos fatorar a soma dos cubos novamente: (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 3x - 3y) = 0 (x + y)((x - y)^2 + 3(x - y)) = 0 (x + y)(x - y + 3) = 0 Portanto, x + y = 0 ou x - y + 3 = 0. Se x + y = 0, então x = -y e podemos substituir na primeira equação para obter: y + y^3 = -1 y^3 + y + 1 = 0 Podemos usar a fórmula de Cardano para encontrar as raízes cúbicas de -1: y = -1, y = (1 + sqrt(3)i)/2, y = (1 - sqrt(3)i)/2 Se x - y + 3 = 0, então x = y - 3 e podemos substituir na primeira equação para obter: y - 3 + y^3 = -1 y^3 + y - 2 = 0 Podemos fatorar a equação: (y - 1)(y^2 + y + 2) = 0 A segunda equação não tem raízes reais, então y = 1. Portanto, temos três soluções para (x, y): (-1, -1), ((1 + sqrt(3)i)/2, -(1 - sqrt(3)i)/2) e ((1 - sqrt(3)i)/2, -(1 + sqrt(3)i)/2). Para encontrar |z|, podemos usar a fórmula: |z| = sqrt(x^2 + y^2) Substituindo as três soluções para (x, y), obtemos: |z| = sqrt(2), sqrt(2), sqrt(2) Portanto, a resposta correta é a letra E) 1 + i e 23.