12. (Fuvest) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD , inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézio. ...

a) Para determinar a altura do trapézio, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AOC. Temos que: AC² = AO² + OC² (3/2)² = r² + h² Também podemos utilizar a semelhança entre os triângulos AOC e BOD: h/(r - 2) = (3/2)/r h = (3/2)(r - 2)/r Igualando as duas expressões para h, temos: (3/2)² = r² + [(3/2)(r - 2)/r]² r² = 25/4 r = 5/2 Substituindo o valor de r na expressão para h, temos: h = (3/2)(5/2 - 2)/(5/2) = 1/2 Portanto, a altura do trapézio é 1/2. b) O raio da circunferência é igual à média aritmética das medidas das bases do trapézio, ou seja: r = (AB + CD)/4 = 3/2 c) A área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência é igual à área do setor circular OAB menos a área do trapézio ABCD. Temos que: Ângulo AOB = 2*Ângulo ACB = 2*arcsen(3/4) Área do setor OAB = (Ângulo AOB/360°)*πr² = (2*arcsen(3/4)/360°)*π(3/2)² Área do trapézio ABCD = [(AB + CD)/2]*h = (3/2)*(1/2) Portanto, a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência é: (2*arcsen(3/4)/360°)*π(3/2)² - (3/2)*(1/2)