30. (Fuvest 2007) A figura representa um trapézio ABCD de bases AB e CD , inscrito em uma circunferência cujo centro O está no interior do trapézi...

a) Para determinar a altura do trapézio, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo AOC. Temos que: AC² = AO² + OC² (3/2)² = r² + h² Também podemos utilizar a semelhança entre os triângulos AOC e BOD: h/(r - 2) = (3/2)/r h = (3/2)(r - 2)/r Igualando as duas expressões para h, temos: (3/2)² = r² + [(3/2)(r - 2)/r]² 9/4 = r² + (9/4)(r² - 4r + 4)/r² 9r² = 4r² + 9(r² - 4r + 4) 9r² = 13r² - 36r + 36 4r² + 36r - 36 = 0 r² + 9r - 9 = 0 r = (sqrt(117) - 9)/2 (descartamos a solução negativa) Substituindo o valor de r na expressão para h, temos: h = (3/2)(sqrt(117) - 11)/7 Portanto, a altura do trapézio é aproximadamente 1,77. b) O raio da circunferência é igual a (AC + BD)/4. Temos que BD = AB - CD = 2, portanto: r = (3/2 + 2)/4 = 7/8 c) A área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência é igual à área do setor circular OAB menos a área do trapézio ABCD. Temos que: Área do setor OAB = (1/2)r²θ = (1/2)(7/8)²π/2 = 3,06 Área do trapézio ABCD = [(AB + CD)/2]h = (3/2)(4 + 2)/2(3/2)(sqrt(117) - 11)/7 = 2(sqrt(117) - 11)/7 Área da região exterior = 3,06 - 2(sqrt(117) - 11)/7 Portanto, a área da região exterior ao trapézio e delimitada pela circunferência é aproximadamente 0,68.