12. (Espcex (Aman) 2017) Considere a reta t mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta s : 2x 3y 12 0   intercepta os ei...

Para encontrar a distância do ponto M(1,1) à reta t, precisamos primeiro encontrar as coordenadas do ponto de interseção entre a reta s e os eixos coordenados. Para encontrar a interseção com o eixo x, fazemos y = 0: 2x + 3(0) = 12 2x = 12 x = 6 Portanto, o ponto de interseção com o eixo x é (6,0). Para encontrar a interseção com o eixo y, fazemos x = 0: 2(0) + 3y = 12 3y = 12 y = 4 Portanto, o ponto de interseção com o eixo y é (0,4). Agora, podemos encontrar as coordenadas do ponto médio do segmento entre esses dois pontos: ((6+0)/2, (0+4)/2) = (3,2) Sabemos que a reta t é a mediatriz desse segmento, o que significa que ela passa pelo ponto médio e é perpendicular ao segmento. A equação da reta s pode ser reescrita como y = (2/3)x - 4. A inclinação da reta t é o oposto do inverso da inclinação da reta s, ou seja, -3/2. A equação da reta t é, portanto: y - 2 = (-3/2)(x - 3) y - 2 = (-3/2)x + 9/2 y = (-3/2)x + 13/2 Agora, podemos encontrar a distância do ponto M(1,1) à reta t usando a fórmula da distância entre um ponto e uma reta: d = |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2) Onde a, b e c são os coeficientes da equação da reta t, e x e y são as coordenadas do ponto M(1,1). Substituindo, temos: d = |(-3/2)(1) + (1)(1) + (13/2)| / sqrt((-3/2)^2 + 1^2) d = |(-3/2) + 1 + (13/2)| / sqrt(9/4 + 1) d = |5/2| / sqrt(13/4) d = (5/2) / (sqrt(13)/2) d = 5 / sqrt(13) Portanto, a alternativa correta é a letra A) 13/3 *sqrt(11).