(Fuvest 2019) Na figura, OABC é um quadrado e CDE é um triângulo equilátero tal que OC CE 2.= = a) Determine a equação da reta que passa por E ...

a) Para determinar a equação da reta que passa por E e A, precisamos encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta e um ponto que ela passa. Sabemos que o ponto E tem coordenadas (1, 1) e o ponto A tem coordenadas (0, 2). A inclinação da reta pode ser encontrada pela fórmula: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), onde (x1, y1) = (1, 1) e (x2, y2) = (0, 2). Então, m = (2 - 1) / (0 - 1) = -1. Agora, podemos usar a equação da reta na forma y = mx + b, onde b é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Substituindo as coordenadas de um dos pontos, temos: 1 = -1 * 1 + b, o que nos dá b = 2. Portanto, a equação da reta que passa por E e A é y = -x + 2. b) Para determinar a equação da reta que passa por D e é perpendicular à reta AE, precisamos encontrar a inclinação da reta AE e, em seguida, a inclinação da reta perpendicular. Sabemos que a inclinação da reta AE é -1 (encontrada na letra a). A inclinação da reta perpendicular é o inverso negativo da inclinação da reta AE, ou seja, 1. Agora, podemos usar a equação da reta na forma y = mx + b, onde b é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Substituindo as coordenadas do ponto D (2, 0), temos: 0 = 1 * 2 + b, o que nos dá b = -2. Portanto, a equação da reta que passa por D e é perpendicular à reta AE é y = x - 2. c) Para determinar um ponto P no segmento OA, de modo que a reta que passa por E e por P divida o quadrado em duas regiões, de tal forma que a área da região que contém o segmento OC seja o dobro da área da outra região, podemos usar a seguinte estratégia: traçar a reta que passa por E e pelo ponto médio do segmento OA (que é o ponto M(1/2, 3/2)), e encontrar o ponto de interseção dessa reta com o segmento OA. Esse ponto será o ponto P procurado. A equação da reta que passa por E e M pode ser encontrada usando a mesma estratégia da letra a. A inclinação da reta é m = (3/2 - 1) / (1/2 - 1) = -2. A equação da reta é y = -2x + 4. Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção dessa reta com o segmento OA. Substituindo y na equação da reta AE (encontrada na letra a), temos: x - 2 = -x + 2, o que nos dá x = 2/3. Substituindo x na equação da reta que passa por E e M, temos: y = -2 * 2/3 + 4, o que nos dá y = 2/3. Portanto, o ponto P procurado é (2/3, 2/3).