102. Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura aba...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula para o comprimento de uma correia que envolve externamente duas circunferências tangentes, que é dada por: L = 2πr1 + 2πr2 + 2d Onde r1 e r2 são os raios das circunferências, e d é a distância entre seus centros. No caso do hexágono regular, podemos dividir a correia em seis segmentos, cada um envolvendo duas circunferências tangentes. A distância entre os centros das circunferências é igual ao lado do hexágono, que por sua vez é igual a 10 cm (pois o raio de cada circunferência é 5 cm e os centros formam um hexágono regular). Assim, temos: L = 2π(5) + 2π(5) + 2(10) L = 10π + 20 Multiplicando por 6 para considerar todos os segmentos da correia, temos: L = 60π + 120 Agora basta escolher a alternativa que mais se aproxima desse valor. Temos: a) 18√3 + 3π ≈ 60,5 b) 30√10 + π ≈ 100,5 c) 18√6 + π ≈ 60,8 d) 60√10 + π ≈ 200,5 e) 36√6 + π ≈ 121,3 Portanto, a alternativa correta é a letra d), 60√10 + π.