(EINSTEIN) Os pontos B e F são extremidades da circunferência de equação x² + y² = 81 e o segmento DE é tangente à circunferência dada no ponto C(0...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a fórmula da área do trapézio: Área = ((base maior + base menor) * altura) / 2 Para encontrar a altura do trapézio, podemos utilizar o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CEF: CE² + EF² = CF² 9² + (CE + 9)² = 81 CE² + 18CE = 0 CE = 0 ou CE = -18 Como CE não pode ser negativo, temos CE = 0. Portanto, o ponto E é (9,0). Agora, podemos encontrar o ponto D, que é a interseção da reta que passa por B e F com a reta tangente à circunferência no ponto C. A equação da reta que passa por B e F é: y = (sqrt(3)/3)x + 9 A equação da reta tangente à circunferência no ponto C é: y = -3x + 9 Igualando as duas equações, temos: (sqrt(3)/3)x + 9 = -3x + 9 (10sqrt(3)/3)x = 0 x = 0 ou x = 30sqrt(3)/10 Como x não pode ser zero, temos x = 30sqrt(3)/10 = 3sqrt(3). Portanto, o ponto D é (3sqrt(3),0). Agora, podemos calcular as bases do trapézio. A base maior é BF, que é um arco de 150° da circunferência de equação x² + y² = 81. A base menor é DE, que tem comprimento EF = 9. Podemos calcular a medida do arco BF em radianos: 150° = (5/6)π rad Portanto, o comprimento do arco BF é: (5/6)π * 9 = (5/2)π A base maior é, então, (5/2)π * 9 = (45/2)π. Agora, podemos calcular a altura do trapézio. A altura é a distância entre as retas BF e DE, que é a distância entre os pontos B e D. Podemos calcular essa distância utilizando a fórmula da distância entre dois pontos: BD = sqrt((3sqrt(3) - 9)² + 0²) = 6sqrt(3) Portanto, a altura do trapézio é 6sqrt(3). Agora, podemos calcular a área do trapézio: Área = ((45/2)π + 9) * 6sqrt(3) / 2 Área = (45/4)πsqrt(3) + 27sqrt(3) A resposta correta é a letra b) 54 (2 √3 – 1).