10 09 - (RESOLUÇÃO - Polinômios III - Divisão de Polinômios e Teorema do Resto)

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Prof. Johnny 
Matemática 
 
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Resolução – Divisão de Polinômios e teorema do resto 
 
Resposta da questão 1: 04 + 08 = 12. 
De acordo com as informações do problema, concluímos 
que: 𝑃(𝑥) = (2𝑥2 + 6𝑥 + 7) ⋅ (𝑥3 − 𝑥2 − 2𝑥) 
 
Fatorando cada um dos fatores de 𝑃(𝑥), utilizando as 
raízes dos trinômios do segundo grau, obtemos: 
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (𝑥 + 3 − √2) ⋅ (𝑥 + 3 + √2) ⋅ 𝑥 ⋅ (𝑥 − 2) ⋅ (𝑥 + 1) 
 
[01] Falsa. 𝑃(𝑥) é divisível por (𝑥 + 1). 
[02] Falsa. 𝑃(𝑥) é divisível por (𝑥 − 2). 
[04] Verdade. Pois 𝑃(𝑥) é um produto de 5 fatores do 
primeiro grau. 
[08] Verdade. Pois 𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (0 + 3 − √2) ⋅ (0 + 3 + √2) ⋅
0 ⋅ (0 − 2) ⋅ (0 + 1) = 0. 
 
Resposta da questão 2: [C] 
Supondo 𝑛 = 1 pode-se calcular: 
𝑥1 + 𝑥 + 2 → 2𝑥 + 2 
(2𝑥 + 2) ÷ (𝑥 − 1) = 2 → 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = 4 
 
Resposta da questão 3: 
a) Tem-se que 
𝑝(−2) = (−2)2 + 2 ⋅ (−2) − 3 = −3, 
𝑝(0) = −3 
e 𝑝(1) = 12 + 2 ⋅ 1 − 3 = 0. 
 
Em consequência, 𝑝(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 é polinômio 
interpolador dos pontos dados. 
 
b) Se 𝑞(𝑥) é um polinômio interpolador dos pontos 
𝑄1,  𝑄2,  𝑄3 e 𝑄4, então 
{
𝑎 ⋅ (−2)3 + 𝑏 ⋅ (−2)2 + 𝑐 ⋅ (−2) + 𝑑 = 8
𝑎 ⋅ 23 + 𝑏 ⋅ 22 + 𝑐 ⋅ 2 + 𝑑 = −8
⇔ {
−8𝑎 + 4𝑏 − 2𝑐 + 𝑑 = 8
8𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = −8
 . 
 
Somando essas duas equações, obtemos 𝑑 = −4𝑏. 
Ademais, temos 
{
𝑎 ⋅ (−1)3 + 𝑏 ⋅ (−1)2 + 𝑐 ⋅ (−1) + 𝑑 = 1
𝑎 ⋅ 13 + 𝑏 ⋅ 12 + 𝑐 ⋅ 1 + 𝑑 = −4
⇔ {
−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = −4
 . 
 
Somando, encontramos 2𝑏 + 2𝑑 = −3. Logo, segue que 
𝑏 =
1
2
 e 𝑑 = −2. 
Finalmente, das duas últimas equações de cada um dos 
sistemas anteriores, vem 
{
4𝑎 + 𝑐 = −4
𝑎 + 𝑐 = −
5
2
⇔ 𝑎 = −
1
2
 e 𝑐 = −2. 
 
A resposta é, portanto, 𝑎 = −
1
2
,  𝑏 =
1
2
,  𝑐 = −2 e 𝑑 = −2. 
 
 
 
 
Resposta da questão 4: [C] 
 
Todo o polinômio de grau 3 pode ser escrito da seguinte 
forma: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 
 
De acordo com o problema, temos: 
𝑝(0) = 6 ⇒ 𝑑 = 6 
𝑝(1) = 1 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 6 = 1 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −5 (𝑖) 
𝑝(2) = 4 ⇒ 8𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 + 6 = 4 ⇒ 4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = −1 (𝑖𝑖) 
𝑝(3) = 9 ⇒ 27𝑎 + 9𝑏 + 3𝑐 + 6 = 9 ⇒ 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 1 (𝑖𝑖𝑖) 
 
Fazendo (𝑖𝑖) − (𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) − (𝑖) obtemos o seguinte 
sistema: 
{
3𝑎 + 𝑏 = 4
8𝑎 + 2𝑏 = 6
 
 
Resolvendo o sistema acima, obtemos: 
𝑎 = −1,  𝑏 = 7 e 𝑐 = −11 
 
Portanto: 
𝑝(𝑥) = −𝑥3 + 7𝑥2 − 11𝑥 + 6 
 
e 
𝑝(4) = −43 + 7 ⋅ 42 − 11 ⋅ 4 + 6 = 10 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Se o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 1) é 9, podemos 
escrever que: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9 
 
Como 𝑎,  𝑏 e 𝑐 são três números consecutivos, podemos 
escrever que 𝑎 = 𝑏 − 1 e 𝑐 = 𝑏 + 1, portanto: 
𝑏 − 1 + 𝑏 + 𝑏 + 1 = 9 ⇒ 𝑏 = 3 
 
Logo, 
𝑎 = 2 e 𝑐 = 4. 
 
Com isso, nosso polinômio fica escrito na forma: 
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ 𝑥3 + 3 ⋅ 𝑥4 + 4 ⋅ 𝑥2 
 
Logo, o resto da divisão de 𝑃(𝑥) por (𝑥 + 1) será dado por: 
𝑃(𝑥) = 2 ⋅ (−1)3 + 3 ⋅ (−1)4 + 4 ⋅ (−1)2 = 5 
 
Resposta da questão 6: [A] 
Calculando: 
𝑃(𝑥) = 6𝑥2 − 5𝑥 + 𝑘2 
(3𝑥 − 4) ⋅ (𝑎𝑥 + 𝑏) = 3𝑎𝑥2 + 3𝑏𝑥 − 4𝑎𝑥 − 4𝑏
= 6𝑥2 − 5𝑥 + 𝑘2 
3𝑎 = 6 ⇒ 𝑎 = 2 
3𝑏 − 4𝑎 = −5 ⇒ 3𝑏 − 8 = −5 ⇒ 𝑏 = 1 
−4𝑏 = 𝑘2 ⇒ 𝑘2 = −4 ⇒ 𝑘 = √−4 = √4 ⋅ (−1) = 2√−1 = 2𝑖 
 
Assim, 𝑘 é necessariamente um número imaginário puro, 
 
 
 
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Resposta da questão 7: [D] 
De acordo com o Teorema do resto, podemos escrever: 
𝑟 = 𝑝(√2) = 2√2
4
−
1
√2
√2
3
+ 2√2
2
−
1
√2
√2 + 1 
𝑟 = 8 − 2 + 4 − 1 + 1 = 10 
𝑠 = 𝑝(√8) = 2√8
4
−
1
√2
√8
3
+ 2√8
2
−
1
√2
√8 + 1 
𝑠 = 128 − 16 + 16 − 2 + 1 = 127 
Portanto, 𝑟 + 𝑠 = 137. 
 
Resposta da questão 8: [D] 
A raiz de 𝑞(𝑥) é dada por: 
𝑥 − 20,2 = 0 
𝑥 = 20,2 
Sendo 𝑟 o resto pedido, temos: 
𝑟 = 𝑝(20,2) 
𝑟 = (20,2)10 − 1 
𝑟 = 22 − 1 
𝑟 = 3 
 
Resposta da questão 9: [B] 
Como o resto da divisão de P por 𝑥 + 2 é 7, 𝑃(−2) = 7. 
Daí, 
7 = 4 ⋅ (−2)3 − (−2)2 − (5 + 𝑚) ⋅ (−2) + 3 
7 = −32 − 4 + 10 + 2𝑚 + 3 
2𝑚 = 30 
𝑚 = 15 
 
Resposta da questão 10: 02 + 04 + 08 = 14. 
Calculando: 
(𝑥5 − 4) ÷ (𝑥 − 2) = 𝑄1 = 𝑥
4 + 2𝑥3 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 16 ⇒ 𝑅1
= 28 
(𝑥4 + 2𝑥3 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 16) ÷ (𝑥 + 2) = 𝑄2 = 𝑥
3 + 4𝑥 ⇒ 𝑅2
= 16 
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
[01] INCORRETA. O polinômio 𝑄2(𝑥) possui apenas uma 
raiz real. 
 
[02] CORRETA. Calculando: 
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 
 
[04] CORRETA. O grau do polinômio 𝑃(𝑥) ⋅ 𝑄1(𝑥) ⋅ 𝑄2(𝑥) é 
igual a 60. 
 
[08] CORRETA. Calculando: 
(𝑥 − 2) − (𝑥 + 2) = 𝑥 − 2 − 𝑥 − 2 = −4 
 
Resposta da questão 11: [A] 
O resto da divisão de 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1 é igual a 3, portanto 𝑚 
e 𝑛 são números pares, pois: 
𝑝(−1) = 3 → 𝑝(−1) = (−1)𝑛 + (−1)𝑚 + 1 = 3 →
𝑙𝑜𝑔 𝑜 {
(−1)𝑛 = 1
(−1)𝑚 = 1
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 12: [D] 
Tem-se que 
 
𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)(𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 1) + 3𝑥2 + 3𝑥. 
 
Logo, como 𝑟(𝑥) = 3𝑥2 + 3𝑥, vem 3𝑥2 + 3𝑥 = 0 ⇔ 3𝑥(𝑥 +
1) = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = −1. 
 
 
Portanto, segue que a solução real, não nula, da equação 
𝑟(𝑥) = 0 pertence ao intervalo [−1,  0]. 
 
Resposta da questão 13: 01 + 02 + 08 = 11. 
 
[01] VERDADEIRO. Calculando: 
2 ⋅ (
1
2
)
3
− 3 ⋅ (
1
2
)
2
− 3 ⋅ (
1
2
) + 2 = 0 
2
8
−
3
4
−
3
2
+ 2 = 0 ⇒
2 − 6 − 12 + 16
8
= 0 ⇒
−16 + 16
8
= 0 
 
[02] VERDADEIRO. Calculando: 
  2𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 + 2    𝑥2 − 𝑥 − 2  
−2𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥   2𝑥 − 1 
                        
 −𝑥2 + 𝑥 + 2 
 +𝑥2 − 𝑥 − 2 
                        
                     0 
 
[04] FALSO. Pelas relações de Girard a soma de suas 
raízes será igual a 
3
2
. 
 
[08] VERDADEIRO. Calculando: 
𝑎 + 𝑏 +
1
2
=
3
2
 
𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅
1
2
=
−2
2
⇒ 𝑎𝑏 = −2 
−2
𝑏
+ 𝑏 =
3
2
−
1
2
⇒
−2
𝑏
+ 𝑏 = 1 ⇒
−2 + 𝑏2
𝑏
= 1
⇒ 𝑏2 − 𝑏 − 2 = 0 
𝑏 = 2   𝑜𝑢  𝑏 = −1 
𝑎 = −1  𝑜𝑢  𝑎 = 2 
 
[16] FALSO. Ele pode ser fatorado como produto de três 
polinômios de grau 1 com coeficientes racionais.