3. Um ponto luminoso está se movendo na frente de um espelho esférico com velocidade xv e yv . Adotando-se o referencial de Gauss, prove que, as v...

A partir da equação de Gauss para espelhos esféricos, temos: 1/f = 1/p + 1/q Onde f é a distância focal, p é a distância do objeto ao espelho e q é a distância da imagem ao espelho. Derivando essa equação em relação ao tempo, temos: (d/dt)(1/f) = (d/dt)(1/p) + (d/dt)(1/q) Derivando a equação de Gauss em relação a p e q, temos: 1/p² dp/dt = -1/q² dq/dt Substituindo dp/dt e dq/dt pelas velocidades em x e y do objeto e da imagem, respectivamente, temos: 1/p² dx/dt = -1/q² dx'/dt 1/p² dy/dt = -1/q² dy'/dt Multiplicando as duas primeiras equações, temos: (dx/dt)(dx'/dt) = -(p/q)² Fazendo o mesmo com as duas últimas equações, temos: (dy/dt)(dy'/dt) = -(p/q)² Dividindo as duas equações, temos: (dx'/dt)/(dy'/dt) = -(dx/dt)/(dy/dt) Isolando dx'/dt, temos: dx'/dt = -(dx/dt)(dy'/dt)/(dy/dt) Substituindo dy'/dt por -A(dy/dt), onde A é o aumento linear transversal, temos: dx'/dt = A(dx/dt)(y/y') Usando a equação de Gauss para substituir y/y' por q/p, temos: dx'/dt = A(dx/dt)(q/p) Substituindo q por f(p-f)/p, temos: dx'/dt = A(dx/dt)(f/p)(p-f)/f Simplificando, temos: dx'/dt = -2A(dx/dt)(x/f) O que nos dá a primeira equação pedida: dx'/dt = -2(x/f)(dx/dt)(A) Fazendo o mesmo para as velocidades em y, temos: dy'/dt = A(dy/dt)(y/y') Substituindo y/y' por q/p, temos: dy'/dt = A(dy/dt)(q/p) Substituindo q por f(p-f)/p, temos: dy'/dt = A(dy/dt)(f/p)(p-f)/f Simplificando, temos: dy'/dt = A(dy/dt)(y/f) O que nos dá a segunda equação pedida: dy'/dt = (y/f)(dy/dt)(A)