13. (Epcar (Afa) 2014) Sejam f e g funções reais dadas por f(x) = sen^2x e g(x) = 2cosx, cada uma definida no seu domínio mais amplo possível. A...

A alternativa correta é a letra A) apenas III é verdadeira. Justificativa: I. O conjunto solução da equação f(x) = g(x) contém infinitos elementos: f(x) = sen²x e g(x) = 2cosx. Para encontrar a solução da equação f(x) = g(x), podemos substituir as funções pelos seus valores e resolver a equação: sen²x = 2cosx. Simplificando a equação, temos: 2sen²x = 4cos²x, e aplicando a identidade trigonométrica sen²x + cos²x = 1, temos: 2(1-cos²x) = 4cos²x, 2 - 2cos²x = 4cos²x, 6cos²x = 2, cos²x = 1/3, cosx = ±√(1/3). Portanto, a equação tem duas soluções: x = arccos(√(1/3)) + 2kπ ou x = -arccos(√(1/3)) + 2kπ, onde k é um número inteiro. Logo, a afirmativa I é verdadeira. II. No intervalo (3π/4, 5π/4), a função f é crescente: f(x) = sen²x. Derivando a função, temos: f'(x) = 2senxcosx. Para analisar o sinal da derivada no intervalo (3π/4, 5π/4), podemos escolher um ponto dentro do intervalo, por exemplo, x = π. Nesse ponto, temos: f'(π) = 2senπcosπ = 0. Como a derivada é nula em todo o intervalo, não é possível afirmar se a função é crescente ou decrescente. Portanto, a afirmativa II é falsa. III. O período da função f é π: f(x) = sen²x. Aplicando a identidade trigonométrica sen²x + cos²x = 1, temos: sen²x = 1 - cos²x. Substituindo na função, temos: f(x) = 1 - cos²x. Como a função cosx tem período 2π, a função cos²x também tem período 2π. Portanto, a função f(x) = 1 - cos²x tem período 2π. Como a função sen²x é obtida a partir da função f(x) por uma translação vertical de 1 unidade para cima, a função sen²x também tem período 2π. Logo, a afirmativa III é falsa. Assim, a alternativa correta é a letra A) apenas III é verdadeira.