Um polinômio ????(????) do terceiro grau possui três raízes reais, de tal forma que, se forem colocadas em ordem crescente formam uma progressão aritmé...

Vamos lá! Sejam as raízes do polinômio ????(????) em ordem crescente: x - d, x, x + d. Sabemos que a soma das raízes é -b/a, onde b é o coeficiente do termo de grau 1 e a é o coeficiente do termo de grau 2. Então: x - d + x + x + d = -b/a 3x = -b/a x = -b/3a Também sabemos que a soma dos termos de uma progressão aritmética é dada por S = (a1 + an)n/2, onde a1 é o primeiro termo, an é o último termo e n é o número de termos. Nesse caso, temos: (a1 + an)n/2 = 12 (3x - 2d)n/2 = 12 3x - 2d = 8/n Agora, podemos usar a informação de que a diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor é 160: (x + d)^2 - (x - d)^2 = 160 4xd = 160 xd = 40 Substituindo xd por 40, temos: 3x - 2d = 8/n 3x - 80/x = 8/n 3x^2 - 80 = 8n/x 3(-b/3a)^2 - 80 = 8n/(-b/3a) -b^2/3a + 240a/3a = 8n/(-b/3a) -b^2 + 240a = -24nb/3 -b^2 + 80b - 240a = 0 Agora podemos usar as informações do enunciado para responder as alternativas: 01) Não necessariamente. As raízes podem ser números racionais. 02) Podemos fazer a divisão e obter o quociente 2x^2 - 6x + 5 e resto 30. Portanto, a alternativa está incorreta. 04) A soma dos coeficientes é 2 + 0 + 0 + (-240) = -238, que é menor que 500. Portanto, a alternativa está incorreta. 08) A soma das raízes é -b/a = 0, portanto não é solução da equação dada. Portanto, a alternativa está incorreta. 16) O coeficiente do termo independente é -240, que é menor que 252. Portanto, a alternativa está correta. Assim, a alternativa correta é a 16.