10. (Fuvest 2014) O triângulo ???????????? é isósceles, com ???????? = ????????, e ???????????????? é um quadrado. Sendo ???? a medida do ângulo ????�̂�????, pode-se garantir ...

A resposta correta é a letra (d) 25° < θ < 120°. Para resolver o problema, é necessário utilizar a relação trigonométrica do seno e do cosseno. Como o triângulo ABC é isósceles, temos que os ângulos A e C são iguais, ou seja, θ = ∠ABC = ∠ACB. Pelo teorema de Pitágoras, temos que AB² + BC² = AC². Como AB = BC, temos que 2AB² = AC². Como AC é a diagonal do quadrado, temos que a área do quadrado é Aq = AC²/2. A área do triângulo ABC pode ser calculada pela fórmula Atri = (AB x BC x sen(θ))/2. Substituindo AC² por 2AB² na fórmula da área do quadrado e igualando as áreas do triângulo e do quadrado, temos: (AB x BC x sen(θ))/2 = AC²/2 AB x BC x sen(θ) = AC² AB x AB x sen(θ) = AC² AB² x sen(θ) = AC²/2 AB² x sen(θ) = Aq Substituindo os valores aproximados fornecidos no enunciado, temos: AB² x 0,3640 = AC²/2 Dividindo ambos os lados por AB², temos: 0,3640 = AC²/(2AB²) Substituindo AC² por 2AB², temos: 0,3640 = 1/2 Como a equação é falsa, concluímos que a área do quadrado não é maior do que a área do triângulo para nenhum valor de θ. Portanto, a resposta correta é a letra (d) 25° < θ < 120°.