8. (Espcex (Aman) 2018) Seja a igualdade ????^3−????^5???? = (????????????????/6+????????????????????/6)^4, onde ???? é a unidade imaginária. Se ???? e ???? são números reais, ...

Para resolver essa questão, podemos começar elevando ambos os lados da igualdade a 1/4, o que resulta em: (????^3−????^5????)^(1/4) = [(????????????????/6)+(????????????????????/6)]^(1/4) Em seguida, podemos simplificar a expressão do lado direito usando a fórmula de Binômio de Newton: [(????????????????/6)+(????????????????????/6)]^(1/4) = [(????/6) + (????/6)????]^(1/4) = [(1 + ????)/6]^(1/4) Substituindo essa expressão na igualdade anterior, temos: (????^3−????^5????)^(1/4) = [(1 + ????)/6]^(1/4) Elevando ambos os lados da igualdade a 4, obtemos: (????^3−????^5????) = [(1 + ????)/6] Multiplicando ambos os lados da igualdade por 6, temos: 6????^3 − 6????^5???? = 1 + ???? Agora, podemos usar a identidade (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 para expandir o cubo de (???? + ????): (???? + ????)^3 = ????^3 + 3????^2???? + 3????????^2 + ????^3 Substituindo ???? por 1 e ???? por ????^2, temos: (1 + ????^2)^3 = 1 + 3????^2 + 3????^4 + ????^6 Multiplicando ambos os lados da igualdade por ????^2, obtemos: ????^2(1 + ????^2)^3 = ????^2 + 3????^4 + 3????^6 + ????^8 Substituindo essa expressão na igualdade anterior, temos: 6????^3 − 6????^5???? = ????^2(1 + ????^2)^3 − ????^8 Agora, podemos substituir ???? por i, já que é a unidade imaginária, e ???? por x, já que são números reais. Isso nos dá: 6i^3 − 6ix^2i = x^2(1 − x^2)^3 − x^8 Simplificando essa expressão, temos: 6i − 6ix^2 = x^2(1 − x^2)^2 − x^6 Dividindo ambos os lados da igualdade por x^2, obtemos: 6/x − 6ix = (1 − x^2)^2 − x^4 Agora, podemos substituir x por cos(θ), já que é um número real, e i por e^(iπ/2), já que é a unidade imaginária. Isso nos dá: 6/(cos(θ)) − 6e^(iπ/2)sin(θ) = (1 − cos^2(θ))^2 − cos^4(θ) Simplificando essa expressão, temos: 6sec(θ) − 6i tan(θ) = sin^4(θ) Dividindo ambos os lados da igualdade por sin^4(θ), obtemos: 6/(sin^3(θ)cos(θ)) − 6i/(sin^4(θ)cos(θ)) = 1 Agora, podemos usar a identidade sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 para substituir cos(θ) por √(1 − sin^2(θ)). Isso nos dá: 6/(sin^3(θ)√(1 − sin^2(θ))) − 6i/(sin^4(θ)√(1 − sin^2(θ))) = 1 Multiplicando ambos os lados da igualdade por sin^4(θ)√(1 − sin^2(θ)), obtemos: 6sin(θ) − 6isin^2(θ) = sin^4(θ)√(1 − sin^2(θ)) Dividindo ambos os lados da igualdade por sin(θ), obtemos: 6 − 6isin(θ) = sin^3(θ)√(1 − sin^2(θ)) Elevando ambos os lados da igualdade ao quadrado, obtemos: 36 − 72isin(θ) + 36sin^2(θ) = sin^6(θ)(1 − sin^2(θ)) Simplificando essa expressão, temos: sin^8(θ) − sin^6(θ) + 6sin^4(θ) − 6sin^2(θ) + 1 = 0 Essa equação pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara para equações de quarto grau, mas é um processo bastante longo e complicado. Portanto, a melhor opção é usar um software de computador ou uma calculadora gráfica para encontrar as raízes da equação e, em seguida, calcular o quociente ????/???? para cada uma das alternativas dadas. A resposta correta é a alternativa que corresponde ao valor correto de ????/????.