Questão 1. a) Seja T : V → W uma transformação linear. Prove que T (0) = 0 b) Determine a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, ...

a) Para provar que T(0) = 0, basta usar a propriedade de que T é uma transformação linear, ou seja, T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0). Logo, subtraindo T(0) de ambos os lados, temos que T(0) = 0. b) Para determinar a transformação linear T: R3 → R2, podemos usar a base canônica de R3, ou seja, T(1,0,0) = (2,0), T(0,1,0) = (1,1) e T(0,0,1) = (0,-1). Assim, podemos escrever qualquer vetor de R3 como uma combinação linear desses vetores da base canônica, ou seja, v = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1). Então, aplicando T em v, temos que T(v) = aT(1,0,0) + bT(0,1,0) + cT(0,0,1) = a(2,0) + b(1,1) + c(0,-1). c) Para encontrar o vetor v em R3 tal que T(v) = (3,2), podemos usar a resposta da letra b) e escrever (3,2) como uma combinação linear dos vetores da imagem de T, ou seja, (3,2) = a(2,0) + b(1,1) + c(0,-1). Resolvendo o sistema linear formado pelas equações, encontramos que a = 1, b = 1 e c = -2. Então, substituindo na equação de v da letra b), temos que v = (1,1,-2).