Questão 1. a) Determine a transformação linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos autovetores (3, 1) e (−2, 1) resp...

a) Para determinar a transformação linear T, precisamos encontrar a matriz A que representa T em relação à base canônica de R2. Sabemos que os autovalores de T são -2 e 3, e que os autovetores associados são (3,1) e (-2,1), respectivamente. Assim, temos: A * (3,1) = -2 * (3,1) A * (-2,1) = 3 * (-2,1) Resolvendo essas equações, encontramos: A = (3 -6; 1 3) Portanto, a transformação linear T é dada por T(x,y) = (3x - 6y, x + 3y). b) O núcleo de T é o conjunto de vetores v em R2 tais que T(v) = 0. Temos: T(x,y) = (0,0) ⇔ (3x - 6y, x + 3y) = (0,0) ⇔ x = 2y Assim, o núcleo de T é o conjunto de vetores da forma (2y, y), onde y é um número real. Já a imagem de T é o conjunto de todos os vetores de R2 que podem ser escritos na forma T(x,y) = (3x - 6y, x + 3y). Podemos reescrever essa expressão como: (3x - 6y, x + 3y) = x * (3,1) + y * (-6,3) Assim, a imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores (3,1) e (-6,3). c) Para provar que T é diagonalizável, precisamos mostrar que existe uma base de autovetores de R2. Como T tem dois autovalores distintos, sabemos que esses autovetores são linearmente independentes. Portanto, a base formada por esses autovetores é uma base de autovetores de R2, e T é diagonalizável. d) Para determinar se T é um isomorfismo, precisamos verificar se T é injetora e sobrejetora. Como T não é injetora (pois o núcleo de T é diferente de {0}), concluímos que T não é um isomorfismo. Para obter o operador inverso de T, podemos utilizar a fórmula: T^-1 = (1/det(A)) * adj(A) Onde det(A) é o determinante de A e adj(A) é a matriz adjunta de A. Neste caso, temos: det(A) = 9 adj(A) = (3 6; -1 3) Portanto, o operador inverso de T é dado por: T^-1(x,y) = (1/9) * (3x + 6y, -x + 3y)