Questão 2. Seja T : R2 → R2 tal que [T ] = ( −1 −2 0 1 ) . Obtenha os vetores u e v tais que: a) T (u) = u b) T (v) = v

Para resolver a questão, precisamos encontrar os vetores \( u \) e \( v \) que são autovetores da transformação linear \( T \) representada pela matriz: \[ [T] = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] ### a) Para encontrar \( u \) tal que \( T(u) = u \): Isso significa que \( u \) é um autovetor associado ao autovalor \( \lambda = 1 \). Precisamos resolver a equação: \[ [T]u = u \] Isso pode ser reescrito como: \[ [T]u - u = 0 \implies ([T] - I)u = 0 \] onde \( I \) é a matriz identidade. Assim, temos: \[ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] Agora, resolvemos o sistema: \[ \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Isso resulta na equação: \[ -2x_1 - 2x_2 = 0 \implies x_1 + x_2 = 0 \implies x_2 = -x_1 \] Portanto, um vetor \( u \) que satisfaz \( T(u) = u \) é: \[ u = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] ### b) Para encontrar \( v \) tal que \( T(v) = v \): Agora, precisamos encontrar os autovetores associados ao autovalor \( \lambda = -1 \). Assim, resolvemos: \[ [T]v = -v \implies ([T] + I)v = 0 \] Calculando: \[ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] Resolvendo o sistema: \[ \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Isso resulta na equação: \[ -2y_2 = 0 \implies y_2 = 0 \] Assim, \( y_1 \) pode ser qualquer valor. Portanto, um vetor \( v \) que satisfaz \( T(v) = v \) é: \[ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] ### Resumo: - \( u = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) - \( v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)