Grátis: Questão 3. Sejam R : R2 → R2 e S : R3 → R2 as transformações lineares tais que [T ] = ( 1 2 −1 3 ) . e [S] = ( 1 0 −1 2 1 1 ) . Sabemos que ...

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Questão 3. Sejam R : R2 → R2 e S : R3 → R2 as transformações lineares tais que

[T ] =

(
1 2
−1 3
)
. e [S] =

(
1 0 −1
2 1 1
)
.

Sabemos que RoS : R3 → R2. Obtenha RoS(x, y, z).

Matematicamente

há 2 anos

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há 2 anos

Para obter RoS(x, y, z), precisamos primeiro calcular o produto de S(x, y, z) e T. [S(x, y, z)] = ( 1 0 -1 2 1 1 ) [x y z] = ( x - z 2x + y + z ) Agora, podemos calcular RoS(x, y, z) multiplicando o vetor resultante acima pelo matriz T. [T] = ( 1 2 -1 3 ) (x - z 2x + y + z) = ( x - 2z + 2x + 2y + 2z -x + 3(2x + y + z) ) = ( 3x + 2y 5x + 2y + 3z ) Portanto, RoS(x, y, z) = (3x + 2y, 5x + 2y + 3z).

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Questão 1. Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as soluções) x+ y + kz = 2
3x+ 4y + 2z = k
2x++3y − z = 1
tenha:
a) Solução única
b) Infinitas soluções
c) Nenhuma solução.

a) k ̸= 3 b) k = 3 c) Não existe k que torne o sistema insolúvel

Questão 2. Determine todos os posśıveis valores de n tais que o sistema x+ y = 1
ny + z = 1
x+ nz = 1
não tenha solução.

n = 1

Questão 3. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos
termos independentes, bi, são todos nulos.
a) Existe algum sistema homogêneo que não tenha solução ? Justifique
b) Encontre os valores de k ∈ R, tais que o sistema homogêneo 2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
tenha solução distinta da solução trivial.

Não, pois todo sistema homogêneo admite a solução nula. b) k = 2

Questão 2. Se para cada x real define uma matriz T (x) dada por
T (x) = (cosx − sinx
sinx cosx)
a) Prove que T (α) · T (β) = T (α + β)
b) O traço de uma matriz é definido como sendo a soma dos elementos da diagonal principal e
denotado por tr A. Calcule o trT (5π/12)

trT (5π/12) = √6−√2

Questão 3. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, terrâneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pala matriz:
a) Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material são empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, res-
pectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.c.p.. Qual ´e o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual é o custo total do material empregado?

[146 526 260 158 388] b) [492 528 465] c) [492 528 465] × [5 7 12] = 11.736

Questão 4. Prove se for verdadeiro e apresente um contra exemplo se for falso.
a) Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0
b) Se AB = 0, então BA = 0
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.

Questão 1. Seja A uma matriz 3x3. Suponha que
X =  1
−2
3
 é solução do sistema homogêneo AX = 0. A matriz A é singular? Justifique.

Questão 2. Determine, se posśıvel, a inversa das matrizes abaixo
a) A =  1 2 3
1 1 2
0 1 1

b) B = 
1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2


Questão 3. Seja P3×3 uma matriz de terceira ordem dada por
P =  √2 −1 1√2 1 −1
0 √2
√2

Se X é uma matriz 3× 3 que satisfaz a equação
(P +X)2 = P 2 + 2PX +X2
Determine X

Questão 4. Resolva cada sistema abaixo.
a) x+ 2y + 3z = 0
x+ y + 2z = 0
y + z = 0
b)
x+ y + z + w = 9
x+ 2y − z + 2w = 18
x− y + 2z + w = 27
x+ 3y + 3z + 2w = −9

Questão 5. Encontre matrizes elementares E1, E2, · · ·Ek tais que A = E1 · E2 · · ·Ek,
para A =  1 2 3
2 1 2
0 1 2


Questão 1. Calcule o determinante da matriz a) A =


1 −2 3 1
5 −9 6 3

−1 2 −6 −2
2 8 6 1

 b) B =


0 1 1 1
1/2 1/2 1 1/2
2/3 1/3 1/3 0

−1/3 2/3 0 0



Questão 2. Se B é uma matriz obtida de uma outra matriz invert́ıvel A por meio da seguinte sequência de operações elementares

. L1 ↔ L4

. L3 → −2L3

. L2 → L2 − aL5

. L7 → L7 + bL8

. L8 → kL9

e sabendo que detB = p2 e detA = p

k, calcule o valor de p

Questão 3. Seja A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4. Obtenha a solução da equação

det(2AAt) = 4x

Questão 4. Para um escalar λ ∈ R considere o sistema{
−3x+ 4y = λx
−x+ 2y = λy

a) Defina o que é um sistema homogêneo

b) Mostre que o sistema acima é homogêneo
c) Determine os valores de λ para que o sistema homogêneo acima possua solução não trivial
d) Determine a solução não trivial, referente ao sistema acima, para cada λ obtido no item c.

Questão 5. Considere as matrizes 3 × 3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante posśıvel de uma tal matriz.

Questão 1. O conjunto V = {(x, y)/x, y ∈ R, x > 0 e y > 0} é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim:

(i) (x1, y1) ⊕ (x2, y2) = (x1 · x2, y1 · y2)

(ii) k ⊙ (x, y) = (xk, yk) onde k ∈ R.

a) Defina o que é o vetor simétrico de um dado vetor −→v em um espaço qualquer.

b) Determine o vetor nulo do espaço V
c) Suponha que −→u = (a, b) ∈ V . Determine o vetor simétrico de −→u em relação as operações (i) e (ii).

Questão 2. Sejam W1 e W2 planos, subespaços vetoriais do espaço R3 com operações usuais.

Sabendo que o vetor normal de W1 é −→ N 1 = (1,−7, 5) e o de W2 é −→ N 2 = (3,−1, 1), determine uma base para a reta interseção dos planos W1 ∩W2.

Questão 3. Seja A = {u, v}, sendo u = (−1, 3,−1) e v = (1,−2, 4).

a) Determine o subespaço gerado por A

b) Calcule o valor de k para que o vetor −→w = (5, k, 11) pertença ao subespaço obtido no ı́tem (a).

Questão 4.

a) Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é linearmente dependente (LD)?

b) Sabendo que o conjunto {U, V,W} é linearmente independente (LI) de um espaço vetorial V, prove que o conjunto {U,U +W,U + V +W} é linearmente independente (LI).

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Questão 1. Determine os valores de k de modo que o sistema abaixo (e obtenha as soluções) x+ y + kz = 23x+ 4y + 2z = k2x++3y − z = 1tenha:a) Solução únicab) Infinitas soluçõesc) Nenhuma solução.a) k ̸= 3 b) k = 3 c) Não existe k que torne o sistema insolúvel

Questão 2. Determine todos os posśıveis valores de n tais que o sistema x+ y = 1ny + z = 1x+ nz = 1não tenha solução.n = 1

Questão 4. Prove se for verdadeiro e apresente um contra exemplo se for falso.a) Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0b) Se AB = 0, então BA = 0c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.

Questão 1. Seja A uma matriz 3x3. Suponha queX =  1−23 é solução do sistema homogêneo AX = 0. A matriz A é singular? Justifique.

Questão 2. Determine, se posśıvel, a inversa das matrizes abaixoa) A =  1 2 31 1 20 1 1b) B = 1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

Questão 3. Seja P3×3 uma matriz de terceira ordem dada porP =  √2 −1 1√2 1 −10 √2√2Se X é uma matriz 3× 3 que satisfaz a equação(P +X)2 = P 2 + 2PX +X2Determine X

Questão 4. Resolva cada sistema abaixo.a) x+ 2y + 3z = 0x+ y + 2z = 0y + z = 0b)x+ y + z + w = 9x+ 2y − z + 2w = 18x− y + 2z + w = 27x+ 3y + 3z + 2w = −9

Questão 5. Encontre matrizes elementares E1, E2, · · ·Ek tais que A = E1 · E2 · · ·Ek,para A =  1 2 32 1 20 1 2

Questão 1. Calcule o determinante da matriz a) A = 1 −2 3 15 −9 6 3−1 2 −6 −22 8 6 1 b) B = 0 1 1 11/2 1/2 1 1/22/3 1/3 1/3 0−1/3 2/3 0 0

Questão 2. Se B é uma matriz obtida de uma outra matriz invert́ıvel A por meio da seguinte sequência de operações elementares. L1 ↔ L4. L3 → −2L3. L2 → L2 − aL5. L7 → L7 + bL8. L8 → kL9 e sabendo que detB = p2 e detA = pk, calcule o valor de p

Questão 3. Seja A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4. Obtenha a solução da equaçãodet(2AAt) = 4x

Questão 5. Considere as matrizes 3 × 3 cujas entradas são inteiros entre 0 e 9 (inclusive). Determine o maior determinante posśıvel de uma tal matriz.

Questão 2. Sejam W1 e W2 planos, subespaços vetoriais do espaço R3 com operações usuais.Sabendo que o vetor normal de W1 é −→ N 1 = (1,−7, 5) e o de W2 é −→ N 2 = (3,−1, 1), determine uma base para a reta interseção dos planos W1 ∩W2.

Questão 3. Seja A = {u, v}, sendo u = (−1, 3,−1) e v = (1,−2, 4).a) Determine o subespaço gerado por Ab) Calcule o valor de k para que o vetor −→w = (5, k, 11) pertença ao subespaço obtido no ı́tem (a).

Questão 4.a) Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é linearmente dependente (LD)?b) Sabendo que o conjunto {U, V,W} é linearmente independente (LI) de um espaço vetorial V, prove que o conjunto {U,U +W,U + V +W} é linearmente independente (LI).

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Questão 2. Determine todos os posśıveis valores de n tais que o sistema x+ y = 1
ny + z = 1
x+ nz = 1
não tenha solução.

n = 1

Questão 4. Prove se for verdadeiro e apresente um contra exemplo se for falso.
a) Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0
b) Se AB = 0, então BA = 0
c) Se A é uma matriz tal que A2 = 0, então A = 0.

Questão 1. Seja A uma matriz 3x3. Suponha que
X =  1
−2
3
 é solução do sistema homogêneo AX = 0. A matriz A é singular? Justifique.

Questão 2. Determine, se posśıvel, a inversa das matrizes abaixo
a) A =  1 2 3
1 1 2
0 1 1

b) B = 
1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2


Questão 3. Seja P3×3 uma matriz de terceira ordem dada por
P =  √2 −1 1√2 1 −1
0 √2
√2

Se X é uma matriz 3× 3 que satisfaz a equação
(P +X)2 = P 2 + 2PX +X2
Determine X

Questão 4. Resolva cada sistema abaixo.
a) x+ 2y + 3z = 0
x+ y + 2z = 0
y + z = 0
b)
x+ y + z + w = 9
x+ 2y − z + 2w = 18
x− y + 2z + w = 27
x+ 3y + 3z + 2w = −9

Questão 5. Encontre matrizes elementares E1, E2, · · ·Ek tais que A = E1 · E2 · · ·Ek,
para A =  1 2 3
2 1 2
0 1 2


Questão 1. Calcule o determinante da matriz a) A =


1 −2 3 1
5 −9 6 3

−1 2 −6 −2
2 8 6 1

 b) B =


0 1 1 1
1/2 1/2 1 1/2
2/3 1/3 1/3 0

−1/3 2/3 0 0



Questão 2. Se B é uma matriz obtida de uma outra matriz invert́ıvel A por meio da seguinte sequência de operações elementares

. L1 ↔ L4

. L3 → −2L3

. L2 → L2 − aL5

. L7 → L7 + bL8

. L8 → kL9

e sabendo que detB = p2 e detA = p

k, calcule o valor de p

Questão 3. Seja A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4. Obtenha a solução da equação

det(2AAt) = 4x

Questão 2. Sejam W1 e W2 planos, subespaços vetoriais do espaço R3 com operações usuais.

Sabendo que o vetor normal de W1 é −→ N 1 = (1,−7, 5) e o de W2 é −→ N 2 = (3,−1, 1), determine uma base para a reta interseção dos planos W1 ∩W2.

Questão 3. Seja A = {u, v}, sendo u = (−1, 3,−1) e v = (1,−2, 4).

a) Determine o subespaço gerado por A

b) Calcule o valor de k para que o vetor −→w = (5, k, 11) pertença ao subespaço obtido no ı́tem (a).

Questão 4.

a) Para quais valores de λ o conjunto {(3, 1, 0), (λ2 + 2, 2, 0)} é linearmente dependente (LD)?

b) Sabendo que o conjunto {U, V,W} é linearmente independente (LI) de um espaço vetorial V, prove que o conjunto {U,U +W,U + V +W} é linearmente independente (LI).