(Fac. Oswaldo Cruz) No triângulo MNP o lado MN mede 12 cm. A área do hexágono regular ABCDEF inscrito no triângulo, conforme a figura, é, em cm²: (...

Para calcular a área do hexágono regular ABCDEF inscrito no triângulo MNP, podemos utilizar a fórmula: Área do hexágono = 3 × (área do triângulo MNP) Para calcular a área do triângulo MNP, podemos utilizar a fórmula de Heron: p = (12 + NP + MP)/2 área do triângulo MNP = √[p × (p - 12) × (p - NP) × (p - MP)] Onde NP e MP são as medidas dos lados do hexágono. Como o hexágono é regular, todos os lados têm a mesma medida. Podemos calcular a medida dos lados do hexágono utilizando a relação entre o raio da circunferência circunscrita e o lado do hexágono: r = (lado do hexágono)/√3 Onde r é o raio da circunferência circunscrita. Como o triângulo MNP é isósceles, podemos calcular a medida de NP e MP utilizando o teorema de Pitágoras: NP² = r² + (12/2)² MP² = r² + (12/2)² NP = MP = √[r² + 6²] Substituindo NP e MP na fórmula da área do triângulo MNP, temos: área do triângulo MNP = √[(12 + 2√(r² + 36))/2 × (2√(r² + 36))/2 × (2√(r² + 36))/2 × (2√(r² + 36))/2 - 12 × (2√(r² + 36))/2 × (2√(r² + 36))/2 × (12/2)/2 × (2√(r² + 36))/2] Simplificando, temos: área do triângulo MNP = √[3(r² + 36) - 216] Substituindo a área do triângulo MNP na fórmula da área do hexágono, temos: Área do hexágono = 3 × √[3(r² + 36) - 216] Para encontrar a alternativa correta, basta substituir o valor de r em cada alternativa e verificar qual delas resulta no valor correto. A alternativa correta é a letra b) 24√3.