Para resolver essa questão, vamos considerar os números de 4 dígitos que começam com o dígito 1 e têm exatamente dois dígitos idênticos. 1. Formato do número: O número tem a forma 1ABC, onde A e B são os outros dígitos. 2. Casos possíveis: - Os dois dígitos idênticos podem ser A ou B, ou ambos podem ser diferentes de 1. 3. Escolha dos dígitos: - Se os dígitos idênticos forem A, então temos duas possibilidades: - 1AAB (onde A é o dígito idêntico e B é diferente de A e 1). - 1ABA (onde A é o dígito idêntico e B é diferente de A e 1). - 1ABB (onde A é o dígito idêntico e B é diferente de A e 1). 4. Contagem: - Para A, temos 0 a 9, mas não pode ser 1 (pois já está em uso) e não pode ser igual a B. Portanto, A pode ser de 0 a 9, exceto 1 e B. - Para B, temos 0 a 9, mas não pode ser igual a A e não pode ser 1. 5. Cálculo: - Se A = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (9 opções). - Para cada escolha de A, B pode ser qualquer um dos 8 dígitos restantes (0 a 9, exceto 1 e A). Assim, temos: - 9 opções para A. - 8 opções para B. Portanto, o total de números é: \[ 9 \times 8 = 72 \] Assim, existem 72 números de 4 dígitos que começam com 1 e têm exatamente dois dígitos idênticos.