03. Você sabe que existem 9 números de um algarismo, 90 números de dois algarismos, 900 números de três algarismos, etc. Considere agora cada númer...

Para resolver esse problema, podemos observar que um número com um algarismo só é um número de um dígito, um número com dois algarismos é um número de dois dígitos, e assim por diante. Além disso, o último algarismo de um número de n dígitos é sempre um dos n algarismos possíveis (0, 1, 2, ..., 9). Assim, podemos contar quantos números de um dígito existem (9), quantos números de dois dígitos existem (90), quantos números de três dígitos existem (900), e assim por diante. Para cada um desses números, o último algarismo pode ser qualquer um dos dígitos possíveis, ou seja, existem 9 números de um dígito cujo último algarismo é 1, 9 números de dois dígitos cujo último algarismo é 2, 9 números de três dígitos cujo último algarismo é 3, e assim por diante. Portanto, o número total de números desse tipo é: 9 x 1 + 90 x 2 + 900 x 3 + 9000 x 4 + ... + 9 x 10^k x (k+1) + ... Podemos reescrever essa soma como: 9 x (1 + 10 + 100 + 1000 + ... + 10^k + ...) + 2 x (10 + 100 + 1000 + ... + 10^k + ...) + 3 x (100 + 1000 + ... + 10^k + ...) + ... + (k+1) x 9 x 10^k A primeira linha é uma soma de uma progressão geométrica com razão 10, a segunda linha é uma soma da mesma progressão multiplicada por 2, a terceira linha é uma soma da mesma progressão multiplicada por 3, e assim por diante. A última linha é simplesmente o número de números de k+1 dígitos. A soma da progressão geométrica é: 1 + 10 + 100 + 1000 + ... + 10^k = (10^(k+1) - 1) / 9 Assim, podemos reescrever a soma como: 9 x (10^(k+1) - 1) / 9 + 2 x (10^k - 1) / 9 x 10 + 3 x (10^(k-1) - 1) / 9 x 100 + ... + (k+1) x 9 x 10^k Simplificando, obtemos: 10 x (10^k - 1) + 20 x (10^(k-1) - 1) + 30 x (10^(k-2) - 1) + ... + (k+1) x 9 x 10^k Que pode ser reescrito como: 10^(k+1) + 2 x 10^k + 3 x 10^(k-1) + ... + (k+1) x 10 + 9 x k Portanto, o número total de números desse tipo é dado por essa fórmula. Por exemplo, para k = 5 (números de até 6 dígitos), temos: 10^6 + 2 x 10^5 + 3 x 10^4 + 4 x 10^3 + 5 x 10^2 + 6 x 10 + 9 x 5 = 1.111.110