Exercício Resolvido 4. Sejam P1, P2, Q1, Q2 propriedades referentes a um conjunto universo U. Suponha que P1 e P2 são tais que qualquer elemento d...

Para provar que as recíprocas valem, precisamos mostrar que: 1. Se Q1 é verdadeiro, então P1 é verdadeiro ou P2 é verdadeiro. 2. Se Q2 é verdadeiro, então P1 é verdadeiro ou P2 é verdadeiro. 3. Se P1 é falso, então Q2 é verdadeiro. 4. Se P2 é falso, então Q1 é verdadeiro. Para provar a primeira recíproca, suponha que Q1 é verdadeiro. Então, como Q1 e Q2 se excluem mutuamente, Q2 é falso. Como qualquer elemento de U possui uma propriedade ou outra, então P1 é verdadeiro ou P2 é verdadeiro. Portanto, a primeira recíproca é verdadeira. Para provar a segunda recíproca, suponha que Q2 é verdadeiro. Então, como Q1 e Q2 se excluem mutuamente, Q1 é falso. Como qualquer elemento de U possui uma propriedade ou outra, então P1 é verdadeiro ou P2 é verdadeiro. Portanto, a segunda recíproca é verdadeira. Para provar a terceira recíproca, suponha que P1 é falso. Então, como qualquer elemento de U possui uma propriedade ou outra, P2 é verdadeiro. Como ⇒1 1P Q , então Q1 é verdadeiro. Portanto, a terceira recíproca é verdadeira. Para provar a quarta recíproca, suponha que P2 é falso. Então, como qualquer elemento de U possui uma propriedade ou outra, P1 é verdadeiro. Como ⇒2 2P Q , então Q2 é verdadeiro. Portanto, a quarta recíproca é verdadeira. Assim, provamos que as recíprocas valem.