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TEORIA DE CONJUNTOS – ITA/IME
Exercícios Resolvidos 
 
 
Esta seleção foi feita para que você, candidato, possa ter sua carga de estudos direcionada ao concurso que deseja. 
O tema abordado aqui é básico e, por vezes, deixado de lado pelos candidatos. Nos concursos do ITA e do IME a teoria de 
conjuntos sempre é cobrada e vale a pena se aprofundar neste tópico. 
Bons estudos! 
 
Exercício Resolvido 1: (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: 
 
I. A negação de x A B∈ ∩ é: x A∉ ou x B∉ . 
II. A (B C) (A B) (A C)∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ . 
III. (A \ B) (B \ A) (A B) \ (A B)∪ = ∪ ∩ . 
Destas, é(são) falsa(s) 
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. 
d) apenas I e III. e) nenhuma. 
 
Solução: Letra E 
 
I. Verdadeira. 
( ) ( )x A B x A e x B x A ou x B.∈ ∩ ≡ ∈ ∈ ≡ ∉ ∉ 
 
II. Verdadeira. (Propriedade Distributiva) 
 
III. Verdadeira. 
Temos que ( ) = ∩X \ Y X Y . Logo: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )A \ B B \ A A B B A A B B A B A∪ = ∩ ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ = 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ = ∪ ∩ ∪ = ∪ ∩ ∩ =A B B B A A B A A B B A A B A B 
= ∪ ∩(A B) \ (A B) 
 
Exercício Resolvido 2: (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, ≥n 1 . Seja S um subconjunto de 
P(U) com a seguinte propriedade: ∈ ⇒ ⊂ ∨ ⊂A,B S (A B) (B A) . Então o número máximo de elementos que S pode 
ter é: 
 
a)2n-1 b) n/2 se n é par e (n+1)/2 se n é ímpar 
c) n+1 
d) 2n-1 e) 2n-1+1. 
 
Solução: Letra C 
 
Sejam { }= 1 2 nU s ,s ,...,s e { } { } { } { }{ }= 1 1 2 1 2 nS , s , s ,s ,..., s ,s ,...,s 
Temos que S satisfaz a propriedade dada e que S possui n + 1 elementos. 
 
 
 
Considere agora ⊂S P(U)com > +n(S) n 1 . Como qualquer subconjunto de U possui, no máximo, n elementos, então 
pelo Princípio da Casa dos Pombos, existem ⊂X, Y S com ≠ ∧ =X Y n(x) n(Y) . Sendo assim, é impossível termos 
⊂ ∨ ⊂(X Y) (Y X) . Logo, nenhum conjunto com mais de n+1 elementos possui a propriedade pedida. 
 
Exercício Resolvido 3: (IME 2010) Sejam os conjuntos P1, P2, S1, e S2 tais que ∩ ⊂ ∩ ⊂2 1 1 1 2 2(P S ) P ,(P S ) P e 
∩ ⊂ ∪2 1 1 2(S S ) (P P ) . Demonstre que ∩ ⊂ ∩2 1 1 2(S S ) (P P ) . 
 
Solução: 
 
Devemos provar que se ∈ ∩2 1x (S S ) , então ∈ ∩1 2x (P P ) . 
Porém, sabe-se que: 
 
∩ ⊂2 1 1(P S ) P (i) 
∩ ⊂1 2 2(P S ) P (ii) 
∩ ⊂ ∪2 1 1 2(S S ) (P P ) (iii) 
 
Assim, dado ∈ ∩2 1x (S S ) , então, por (iii), ∈ ∪ ⇔ ∈ ∨ ∈1 2 1 2x (P P ) x P x P 
Caso ∈ 1x P , temos, por (ii), que ∈ 2x P . Logo, ∈ ∩1 2x (P P ) . 
Caso ∈ 2x P , temos, por (i), que ∈ 1x P . Logo, ∈ ∩1 2x (P P ) . 
Portanto, em qualquer caso, temos ∈ ∩1 2x (P P ) , o que completa a demonstração. 
 
Exercício Resolvido 4. Sejam P1, P2, Q1, Q2 propriedades referentes a um conjunto universo U. Suponha que P1 e P2 são 
tais que qualquer elemento de U possui uma propriedade ou outra. Suponha também que Q1 e Q2 se excluem mutuamente. 
Suponha, finalmente, que ⇒ ∧ ⇒1 1 2 2P Q P Q . Prove que valem as recíprocas: ⇒ ∧ ⇒1 1 2 2Q P Q P 
Solução: 
 
Em primeiro lugar devemos observar que ( ) ( )⇒ ⇔ ⊂P Q P Q 
Temos que: 
( )
( )
( )
( )
∪ =
∩ = ∅
⊂
⊂
1 2
1 2
1 1
2 2
P P U i
Q Q ii
P Q iii
P Q iv
 
Suponha então, por absurdo, que ∃ ∈ ∉1 1x Q x P 
Assim, 
( )
( )
⇒ ∉
⇒ ∉
2
2
ii x Q
iv x P
 
Logo, ∉ ∧ ∉ ⇒ ∉ ∪ =1 2 1 2x P x P x P P U , o que é um absurdo. 
Portanto, provamos que ∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊂1 1 1 1x Q x P Q P 
Analogamente, ⊂2 2Q P .