(IME-89) Três números, cuja a soma é 126 estão em PA. Outros três números estão em PG. Somando os termos correspondentes das duas progressões obtêm...

Seja a, b e c os três números em PA, então temos: a + b + c = 126 Como a soma dos termos correspondentes das duas progressões é 85, 76 e 84, respectivamente, temos: a + d = 85 b + e = 76 c + f = 84 Onde d, e e f são os termos correspondentes dos três números em PG. Como a, b e c estão em PA, podemos escrever: b = a + r c = a + 2r Substituindo na primeira equação, temos: a + (a + r) + (a + 2r) = 126 3a + 3r = 126 a + r = 42 Substituindo na segunda equação, temos: a + r + e = 76 a + r + (r^2)d = 76 Substituindo a + r por 42, temos: 42 + (r^2)d = 76 (r^2)d = 34 - r Substituindo na terceira equação, temos: a + 2r + f = 84 a + 2r + (r^2)e = 84 Substituindo a + r por 42, temos: 42 + 2r + (r^2)e = 84 (r^2)e + 2r - 42 = 0 Agora podemos resolver o sistema de equações do segundo grau formado pelas duas últimas equações: (r^2)d = 34 - r (r^2)e + 2r - 42 = 0 Resolvendo a segunda equação para e, temos: (r^2)e = 42 - 2r Substituindo na primeira equação, temos: (r^2)d = 34 - r (r^2)(42 - 2r) = 34 - r (r^2)(-2r + 42) = 34 - r -2r^3 + 42r^2 = 34 - r Multiplicando tudo por -1, temos: 2r^3 - 42r^2 + r - 34 = 0 Podemos resolver essa equação usando o método de Cardano ou outro método para equações cúbicas. Uma das raízes é r = 6. Substituindo r = 6 na equação a + r = 42, temos a = 36. Portanto, os três números em PA são 36, 42 e 48. Agora podemos usar as equações b = a + r, c = a + 2r, d = er e f = e^2 para encontrar os três números em PG: b = 36 + 6 = 42 c = 36 + 2*6 = 48 d = 42r = 42*6 = 252 e = 76 - b = 76 - 42 = 34 f = (r^2)e = 6^2*34 = 1224 Portanto, os três números em PG são 34, 252 e 1224.