8. (UFC - 2005) Seja a reta L : 2x - 3y + 1 = 0 do plano cartesiano xy . a ) Determine a equação da reta M que contém o ponto P(4,2) e que é pe...

a) Para determinar a equação da reta M que contém o ponto P(4,2) e é perpendicular à reta L, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta L e, em seguida, encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular a L que passa pelo ponto P(4,2). Começando pela reta L, podemos reescrevê-la na forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b é o intercepto no eixo y. Isolando y na equação dada, temos: y = (2/3)x + 1/3 Portanto, o coeficiente angular da reta L é m = 2/3. A reta perpendicular a L terá coeficiente angular -1/m, já que a multiplicação desses dois coeficientes deve resultar em -1 (pois as retas são perpendiculares). Assim, o coeficiente angular da reta M é: m_M = -1/m = -3/2 Agora, podemos usar a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta M. Essa equação é dada por: y - y_0 = m_M(x - x_0) Substituindo os valores de P(4,2) e m_M, temos: y - 2 = (-3/2)(x - 4) Simplificando, temos: y = (-3/2)x + 8 Portanto, a equação da reta M é y = (-3/2)x + 8. b) Para determinar a equação da reta N que contém o ponto P(4,2) e é paralela à reta L, basta usar a equação ponto-inclinação novamente. Como a reta N é paralela à reta L, ela terá o mesmo coeficiente angular de L, ou seja, m_N = 2/3. Substituindo os valores de P(4,2) e m_N na equação ponto-inclinação, temos: y - 2 = (2/3)(x - 4) Simplificando, temos: y = (2/3)x - 2/3 Portanto, a equação da reta N é y = (2/3)x - 2/3.