31. Supondo f diferenciável no aberto A e homogênea de grau �, tem-se: f(tx, ty) � t� f(x, y) Derivando em relação a x os dois membros: t * f/∂x(tx...

Derivando em relação a x os dois membros, temos: t * f/∂x(tx, ty) * t * f/∂x(x, y) = t * d/dx f(tx, ty) - t * d/dx f(x, y) Usando a regra da cadeia, temos: t * d/dx f(tx, ty) = t * ∂f/∂x(tx, ty) * t = t² * ∂f/∂x(x, y) Substituindo na equação anterior, temos: t * f/∂x(tx, ty) * t * f/∂x(x, y) = t * d/dx f(tx, ty) - t * d/dx f(x, y) t * f/∂x(tx, ty) * t * f/∂x(x, y) = t² * ∂f/∂x(x, y) - t * ∂f/∂x(x, y) t * f/∂x(tx, ty) * f(x, y) = (t^2 - t) * ∂f/∂x(x, y) Dividindo ambos os membros por t * f(x, y), temos: f/∂x(tx, ty) / f(x, y) = (t - 1) / t * ∂f/∂x(x, y) / f(x, y) Portanto, a alternativa correta é a letra C.