11) Seja f(x, y) diferenciável e homogênea de grau λ no aberto A. Prove: a) a∂f/∂x(at, bt) + b∂f/∂y(at, bt)λtλ−1f(a, b) pata todo t > 0 e para todo...

Para provar a) e b), podemos usar a definição de função homogênea de grau λ. Seja f(x, y) homogênea de grau λ, então temos: f(tx, ty) = t^λ * f(x, y) Derivando em relação a t, temos: ∂f/∂x * x + ∂f/∂y * y = λt^(λ-1) * f(x, y) Para t = 1, temos: ∂f/∂x * x + ∂f/∂y * y = λf(x, y) Que é a relação de Euler. Para provar a), basta multiplicar a definição de função homogênea de grau λ por t e derivar em relação a t: f(tx, ty) = t^λ * f(x, y) Diferenciando em relação a t, temos: ∂f/∂x * x + ∂f/∂y * y = λt^(λ-1) * f(x, y) Multiplicando por t e substituindo por (at, bt), temos: a∂f/∂x(at, bt) + b∂f/∂y(at, bt) = λt^(λ-1) * f(a, b) Substituindo t por 1, temos a relação pedida em a).