8) Uma função f de duas variáveis é dita homogênea de grau n se )y,x(ft)ty,tx(f n= , para todo t tal que (tx, ty) esteja no domínio da f. Mostre q...

Para mostrar que )y,x(nf)y,x(yf)y,x(xf yx =+, podemos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Seja f uma função homogênea de grau n. Então, temos: f(tx, ty) = t^n * f(x, y) Derivando em relação a t, obtemos: df/dt(tx, ty) = n * t^(n-1) * f(x, y) Agora, derivando em relação a x e y, respectivamente, temos: df/dx(tx, ty) = t^n * fx(x, y) df/dy(tx, ty) = t^n * fy(x, y) Multiplicando a primeira equação por y, a segunda por x e somando, temos: y * df/dx(tx, ty) + x * df/dy(tx, ty) = t^n * (y * fx(x, y) + x * fy(x, y)) Substituindo as derivadas parciais pelas expressões em termos de f, temos: y * t * fx(x, y) + x * t * fy(x, y) = t^n * (y * fx(x, y) + x * fy(x, y)) Simplificando, temos: t * (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) = t^n * (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) Dividindo ambos os lados por t^n, temos: (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) = t^(n-1) * (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) Substituindo f por f/t, temos: (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) = t^(n-1) * (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) * f(x, y)/t Simplificando, temos: (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) * f(x, y) = t^n * (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) * f(x, y) Substituindo t por 1, temos: (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) * f(x, y) = (x * fx(x, y) + y * fy(x, y)) * f(x, y) Portanto, )y,x(nf)y,x(yf)y,x(xf yx =+.