Seja o sólido limitado pelos planos z =9� =9 e pelo paraboloide z =25−x2−y2� =25−�2−�2. Sabe-se que sua densidade volumétrica de massa é dada pela ...

A alternativa correta é: 4∫0√16−x2 ∫025−x2−y2∫0(x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫016−z216−x2−y2∫0(x2+y2)dydx Explicação: O momento de inércia em relação ao eixo z é dado pela integral tripla: Iz = ∭V r² δ(x,y,z) dV Onde r é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo z. Usando coordenadas cilíndricas, temos: x = r cos(θ) y = r sen(θ) z = z E o sólido é limitado pelos planos z = 0, z = 9 e pelo paraboloide z = 25 - x² - y². A densidade volumétrica de massa é dada por δ(x,y,z) = x²y². Substituindo as coordenadas cilíndricas e a densidade volumétrica de massa na integral tripla, temos: Iz = ∫₀²π ∫₀⁴ ∫₀⁹ r² (r² cos²(θ) sen²(θ)) r dz dr dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ ∫₀⁹ r⁵ cos²(θ) sen²(θ) dz dr dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ r⁵ cos²(θ) sen²(θ) ∫₀⁹ dz dr dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ r⁵ cos²(θ) sen²(θ) (9) dr dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ r⁵ cos²(θ) sen²(θ) dr dθ ∫₀⁹ (9) dz Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ r⁵ cos²(θ) sen²(θ) dr dθ (81) Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ r⁵ cos²(θ) sen²(θ) dr dθ Fazendo a mudança de variáveis x = r cos(θ) e y = r sen(θ), temos: Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ ∫₀²π (x² + y²) x²y² √(x² + y²) dx dy dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ ∫₀²π (x⁴y² + x²y⁴) dx dy dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ (1/5 y⁶ + 1/3 y⁶) dy dθ Iz = 4∫₀²π ∫₀⁴ (8/15 y⁶) dy dθ Iz = 4∫₀²π (1024/315) dθ Iz = (4096/315) π Portanto, a alternativa correta é: 4∫0√16−x2 ∫025−x2−y2∫0(x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫016−z216−x2−y2∫0(x2+y2)dydx