Seja o sólido limitado pelos planos z =9� =9 e pelo paraboloide z =25−x2−y2� =25−�2−�2. Sabe-se que sua densidade volumétrica de massa é dada pela ...
4∫−4√ 16−x2 ∫−√ 16−x2 25−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dzdydx∫−44∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
5∫−5√ 16−x2 ∫−√ 16−x2 25−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dxdydz∫−55∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
4∫0√ 16−x2 ∫025−x2−y2∫0 (x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫016−�2∫025−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
4∫0√ 16−x2 ∫−√ 16−x2 25−x2−y2∫0 (x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫−16−�216−�2∫025−�2−�2 (�2+�2)�2�2������
4∫−4√ 16−x2 ∫−√ 16−x2 25−x2−y2∫9 x2y2dxdydz∫−44∫−16−�216−�2∫925−�2−�2 �2�2������
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Ed 
A alternativa correta é: 4∫−4√ 16−x2 ∫−√ 16−x2 25−x2−y2∫9 (x^2+y^2)x^2y^2dzdydx Para calcular o momento de inércia em relação ao eixo z, é necessário utilizar a fórmula: Iz = ∫∫∫ r^2 δ(x,y,z) dV Onde r é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo z e δ(x,y,z) é a densidade volumétrica de massa. Substituindo a densidade volumétrica de massa δ(x,y,z) = x^2y^2, temos: Iz = ∫∫∫ r^2 x^2y^2 dV Para calcular r, podemos utilizar a equação da distância entre um ponto e uma reta: r = √(x^2 + y^2) Substituindo r na fórmula do momento de inércia, temos: Iz = ∫∫∫ (x^2 + y^2) x^2y^2 dV Integrando em relação a z, temos: Iz = ∫∫ (x^2 + y^2) x^2y^2 (25 - x^2 - y^2) dxdy Integrando em coordenadas polares, temos: Iz = 4∫0√(16-x^2) ∫0^(25-x^2) ∫0^(2π) (r^2 cos^2θ + r^2 sin^2θ) r^5 sinθ cosθ dθ dr dz Simplificando a integral, temos: Iz = 4∫0√(16-x^2) ∫0^(25-x^2) r^7 sinθ cosθ dr dz Iz = 4∫0√(16-x^2) ∫0^(25-x^2) (x^2 + y^2) x^2y^2 dzdydx Portanto, a alternativa correta é: 4∫−4√ 16−x2 ∫−√ 16−x2 25−x2−y2∫9 (x^2+y^2)x^2y^2dzdydx
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