7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Seja o sólido limitado pelos planos z =9z =9 e pelo paraboloide z =25−x2−y2z =25−x2−y2. Sabe-se que sua densidade...

A alternativa correta é: 4∫0√(16−x²)∫−√(16−x²)0∫9(x²+y²)x²y²dzdydx + 4∫0√(16−x²)∫0√(16−x²)0∫9(x²+y²)x²y²dzdydx Explicação: O momento de inércia em relação ao eixo z é dado pela integral tripla: Iz = ∭V r²ρ dV Onde r é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo z, ρ é a densidade volumétrica de massa e dV é o elemento de volume. Substituindo ρ = x²y² e V é o sólido limitado pelos planos z = 0 e z = 9 e pelo paraboloide z = 25 - x² - y², temos: Iz = ∭V r²x²y² dV Podemos escrever r² como x² + y² e mudar para coordenadas cilíndricas, onde x = r cosθ, y = r senθ e z = z. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é r dz dr dθ. Assim, temos: Iz = ∫0²π ∫0⁴ ∫0^(9-r²) (r² cos²θ + r² sen²θ) r² cos²θ sen²θ dz dr dθ + ∫0²π ∫0⁴ ∫(9-r²)^(25-r²) (r² cos²θ + r² sen²θ) r² cos²θ sen²θ dz dr dθ Simplificando a expressão, temos: Iz = 4∫0√(16−x²)∫−√(16−x²)0∫9(x²+y²)x²y²dzdydx + 4∫0√(16−x²)∫0√(16−x²)0∫9(x²+y²)x²y²dzdydx