1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A área definida pela equação ρ =cos 3θρ =cos 3θ , para o intervalo 0 < θθ < κκ , com κκ > 0, vale π16π16 . Qual ...

A área definida pela equação ρ = cos 3θ, para o intervalo 0 < θ < κ, com κ > 0, vale π/16. Qual é o valor de κ? Para encontrar o valor de κ, precisamos utilizar a fórmula da área em coordenadas polares: A = ∫(1/2)ρ²dθ Substituindo ρ = cos 3θ, temos: A = ∫(1/2)(cos 3θ)²dθ A = ∫(1/2)(1 + cos 6θ)/2 dθ A = (1/4)∫(1 + cos 6θ) dθ A = (1/4)(θ + (1/6)sen 6θ) + C Como a área definida pela equação ρ = cos 3θ, para o intervalo 0 < θ < κ, com κ > 0, vale π/16, temos: A = (1/4)(κ + (1/6)sen 3κ) - (1/4)(0 + (1/6)sen 0) π/16 = (1/4)(κ + (1/6)sen 3κ) Multiplicando ambos os lados por 4/π, temos: κ/π + (1/6π)sen 3κ = 1/4 Podemos resolver essa equação numericamente ou graficamente. Uma solução aproximada é κ ≈ 0,7854, que corresponde a π/4. Portanto, a alternativa correta é A) π/4.