Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y) = 2x + y2 sobre a curva definida pela equação γ(t)=(2t,t2)�(�)=(2�,�2), t2 ...

Para calcular a integral de linha da função f(x,y) = 2x + y² sobre a curva γ(t) = (2t, t²), com 0 ≤ t ≤ 1, podemos utilizar a definição da integral de linha: ∫γ f(x,y) ds = ∫a^b f(γ(t)) ||γ'(t)|| dt Onde γ'(t) é o vetor tangente à curva γ(t) e ||γ'(t)|| é o seu módulo. Calculando γ'(t), temos: γ'(t) = (2, 2t) ||γ'(t)|| = √(2² + (2t)²) = √(4 + 4t²) = 2√(1 + t²) Substituindo na fórmula da integral de linha, temos: ∫γ f(x,y) ds = ∫0^1 (2(2t) + t²) 2√(1 + t²) dt ∫γ f(x,y) ds = ∫0^1 (4t + t²) 2√(1 + t²) dt ∫γ f(x,y) ds = 2∫0^1 (4t + t²) √(1 + t²) dt ∫γ f(x,y) ds = 2∫0^1 (4t√(1 + t²) + t²√(1 + t²)) dt ∫γ f(x,y) ds = 2[∫0^1 4t√(1 + t²) dt + ∫0^1 t²√(1 + t²) dt] Resolvendo as integrais, temos: ∫γ f(x,y) ds = 2[2(1 + t²)^(3/2) - (1/2)(1 + t²)^(3/2) + (1/3)(1 + t²)^(3/2)] de 0 a 1 ∫γ f(x,y) ds = 2[(2√2/3 + 4√2) - (1/2√2) + (1/3√2)] ∫γ f(x,y) ds = 16√2/3 + 4√2 - 1/√2 + 1/3√2 Portanto, a alternativa correta é a letra A).