eja a parábola de equação 8y2 + 32y = 2x + 8. A reta x - 4y + k = 0, k real, é tangente a esta parábola. Determine o valor do k.

Para determinar o valor de k, podemos utilizar o método da equação do discriminante. Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Para isso, podemos completar o quadrado da equação dada: 8y² + 32y = 2x + 8 8(y² + 4y) = 2x + 8 8(y² + 4y + 4) = 2x + 8 + 32 8(y + 2)² = 2(x + 20) Assim, temos a forma canônica da parábola: (y + 2)² = (1/4)(x + 20) O vértice da parábola é (-20, -2). Agora, podemos utilizar a equação da reta tangente à parábola: x - 4y + k = 0 Sabemos que a reta é tangente à parábola, portanto, ela intersecta a parábola em apenas um ponto. Substituindo as coordenadas do vértice na equação da reta, temos: -20 - 4(-2) + k = 0 k = 6 Portanto, o valor de k é 6.