seja a parabola de equação 8y2+32y=2x+8. a reta x-4y+k=0, k real é tangente a esta parábola. determine o valor de k

Para determinar o valor de \( k \) para que a reta \( x - 4y + k = 0 \) seja tangente à parábola \( 8y^2 + 32y = 2x + 8 \), precisamos igualar as derivadas da reta e da parábola e resolver o sistema resultante. A derivada da parábola \( 8y^2 + 32y = 2x + 8 \) em relação a \( x \) é \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \). A derivada da reta \( x - 4y + k = 0 \) em relação a \( x \) é \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \). Igualando as derivadas, temos: \( \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \) Portanto, o valor de \( k \) é 4 para que a reta seja tangente à parábola.