Seja a parábola de equação 8y2 + 32y = 2x + 8. A reta x - 4y + k = 0, k real, é tangente a esta parábola. Determine o valor do k. 11 13 15 14 12

Para determinar o valor de k, podemos igualar as equações da reta e da parábola e encontrar o valor de y correspondente ao ponto de tangência. Vamos resolver passo a passo: 1. Equação da parábola: 8y^2 + 32y = 2x + 8 2. Equação da reta: x - 4y + k = 0 3. Para que a reta seja tangente à parábola, o discriminante da equação resultante deve ser igual a zero. 4. Substituindo x por 4y - k na equação da parábola, temos: 8y^2 + 32y = 2(4y - k) + 8 5. Simplificando a equação: 8y^2 + 32y = 8y - 2k + 8 6. Reorganizando os termos: 8y^2 + 32y - 8y + 2k - 8 = 0 7. Simplificando novamente: 8y^2 + 24y + 2k - 8 = 0 8. Agora, igualamos o discriminante a zero: 24^2 - 4(8)(2k - 8) = 0 9. Resolvendo a equação: 576 - 64(2k - 8) = 0 10. Simplificando: 576 - 128k + 512 = 0 11. Reorganizando os termos: -128k + 1088 = 0 12. Resolvendo para k: k = 1088/128 13. Calculando o valor de k: k = 8,5 Portanto, o valor de k é aproximadamente 8,5.