QUESTÃO 2) Analise o fluxograma a seguir. Seja ???? uma função dada por ????(????) = ???? + 2 ????????????(????). Use o método numérico descrito pelo fluxograma...

a) Para mostrar que existe uma raiz no intervalo [−1,5 ; 0], podemos utilizar o Teorema de Bolzano, que afirma que se uma função contínua f(x) muda de sinal em um intervalo [a, b], então existe pelo menos uma raiz da equação f(x) = 0 no intervalo (a, b). Substituindo os valores de -1,5 e 0 na função dada, temos: f(-1,5) = -1,5 + 2*(-1,5)^2 = 2,25 > 0 f(0) = 0 + 2*0^2 = 0 < 0 Como a função muda de sinal no intervalo [-1,5 ; 0], podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. b) Para verificar se a raiz é única, podemos utilizar o Teorema de Rolle, que afirma que se uma função f(x) é contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável em (a, b), e se f(a) = f(b), então existe pelo menos um ponto c em (a, b) tal que f'(c) = 0. Derivando a função dada, temos: f'(x) = 1 + 4x Substituindo os valores de -1,5 e 0 na derivada, temos: f'(-1,5) = 1 - 6 = -5 < 0 f'(0) = 1 > 0 Como a derivada muda de sinal no intervalo [-1,5 ; 0], podemos afirmar que a função é decrescente nesse intervalo. Além disso, f(-1,5) > 0 e f(0) < 0, o que significa que a função corta o eixo x uma única vez nesse intervalo. Portanto, a raiz é única. c) Para determinar a raiz aproximada com ε ≤ 4 × 10−2, podemos utilizar o método da bissecção. Inicialmente, escolhemos os valores de a e b de forma que f(a) e f(b) tenham sinais opostos: a = -1,5 b = 0 Calculamos o ponto médio c = (a+b)/2 e verificamos o sinal de f(c): c = -0,75 f(c) = -0,75 + 2*(-0,75)^2 = 0,3125 > 0 Como f(c) é positivo, a raiz deve estar no intervalo [a ; c]. Repetimos o processo, substituindo b por c: a = -1,5 b = -0,75 c = (a+b)/2 = -1,125 f(c) = -1,125 + 2*(-1,125)^2 = -0,2461 < 0 Como f(c) é negativo, a raiz deve estar no intervalo [c ; b]. Repetimos o processo, substituindo a por c: a = -1,125 b = -0,75 c = (a+b)/2 = -0,9375 f(c) = -0,9375 + 2*(-0,9375)^2 = 0,0352 > 0 Como f(c) é positivo, a raiz deve estar no intervalo [a ; c]. Repetimos o processo, substituindo b por c: a = -1,125 b = -0,9375 c = (a+b)/2 = -1,03125 f(c) = -1,03125 + 2*(-1,03125)^2 = -0,1055 < 0 Como f(c) é negativo, a raiz deve estar no intervalo [c ; b]. Repetimos o processo, substituindo a por c: a = -1,03125 b = -0,9375 c = (a+b)/2 = -0,984375 f(c) = -0,984375 + 2*(-0,984375)^2 = -0,0356 < 0 Como f(c) é negativo, a raiz deve estar no intervalo [a ; c]. Repetimos o processo, substituindo b por c: a = -1,03125 b = -0,984375 c = (a+b)/2 = -1,0078125 f(c) = -1,0078125 + 2*(-1,0078125)^2 = 0,0009 > 0 Como f(c) é positivo, a raiz deve estar no intervalo [a ; c]. Repetimos o processo, substituindo b por c: a = -1,03125 b = -1,0078125 c = (a+b)/2 = -1,01953125 f(c) = -1,01953125 + 2*(-1,01953125)^2 = -0,017 < 4 × 10−2 Como f(c) é negativo e ε ≤ 4 × 10−2, podemos afirmar que a raiz aproximada é c = -1,01953125.